codevs 3327 选择数字

3327 选择数字

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题目描述 Description

给定一行n个非负整数a[1]..a[n]。现在你可以选择其中若干个数，但不能有超过k个连续的数字被选择。你的任务是使得选出的数字的和最大。

输入描述 Input Description

第一行两个整数n，k

以下n行，每行一个整数表示a[i]。

输出描述 Output Description

输出一个值表示答案。

样例输入 Sample Input

5 2

1

2

3

4

5 

样例输出 Sample Output

12

数据范围及提示 Data Size & Hint

对于20%的数据，n <= 10

对于另外20%的数据， k = 1

对于60%的数据，n <= 1000

对于100%的数据，1 <= n <= 100000，1 <= k <= n，

                  0 <= 数字大小 <= 1,000,000,000

第一步：dfs

20分 TLE

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,k;
long long ans;
long long a[100001];
void dfs(int now,long long sum,int con)
{
    if(now==n)
    {
        ans=max(ans,sum);
        return;
    }
    for(int i=now+1;i<=n;i++)
     {
         if(con<k) dfs(i,sum+a[i],con+1);
         dfs(i,sum,0);
     }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    dfs(0,0,0);
    printf("%lld",ans);
}

这种写法好像不能改记忆化搜索

第二步：朴素的DP

唉，这一步也想不出来

看的那篇题解里写着一句话：人傻就要多做题

90分TLE 应该是数据弱。。。

不能有超过连续的k个数字被选择，所以第i个状态可以由第i-k到i的状态更新而来

定义f[i]表示选到第i个数字的最大和

在i-k——i这段长为k+1的序列中，必须有一个断点

枚举断点j

状态转移方程：f[i]=max(f[j-1]+sum[i]-sum[j])   i-k<=j<=i

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,k;
long long a[100001],f[100001],sum[100001];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]),sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    for(int i=1;i<=k;i++) f[i]=f[i-1]+a[i]; 
    for(int i=k+1;i<=n;i++)
      for(int j=i-k;j<=i;j++)
         f[i]=max(f[i],f[j-1]+sum[i]-sum[j]);
    printf("%lld",f[n]); 
}

开始做的时候 j只枚举到i-1，忽略了选i-k——i-1这段长为k的序列的情况

第三步：

单调队列优化DP

观察状态转移方程，交换后两项顺序：f[i]=max(f[j-1]-sum[j]+sum[i])

当i固定式，sum[i]固定，所以f[i]只与j有关

所以可以用一个单调递减的队列维护f[j-1]-sum[j]的最大值，

f[i]=队首（f[j-1]-sum[j]的最大值）+sum[i]

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,k,head,tail;
long long a[100001],f[100001],sum[100001],d[100001],q[100001];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]),sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        d[i]=f[i-1]-sum[i];
        while(head<tail&&q[head]<i-k) head++;
        while(head<tail&&d[i]>d[q[tail-1]]) tail--;
        q[tail++]=i;
        f[i]=d[q[head]]+sum[i];
    }
    printf("%lld",f[n]); 
}