洛谷P4062 [Code+#1]Yazid 的新生舞会（树状数组）

考虑数字x的贡献

设S[i]表示x在前i个位置的出现次数

那么如果存在区间[l+1,r]满足要求，则S[r]-S[l]>(r-l)/2，即2S[r]-r>2S[l]-l

令T[i]=2S[i]-i

那可以得到一个n^2 * logn的做法：

枚举数字x，枚举位置，用一个数据结构统计一段区间内<某个数的个数

 

优化一下这个做法

对于某个数字x，看一下它的T

例如下例中，x=2

位置：0  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10  11

数字：   1   2   5   3   2   3   1   2   4    2   1

T :  0  -1   0  -1  -2  -1  -2  -3  -2   -3  -2  -3

段： 1   1   2   2   2   3   3   3   4    4   5   5

我们发现如果存在k个x，那么他把整个序列分为了k+1段,如上所示

每一段是一个等差数列

用a[i]表示T为i的数的出现次数

对于某个x的所有段，按从左到右依次处理

假设现在这一段的T值范围为[l0,r0]

那么以这一段为右端点的区间对答案的贡献就是

 

式子里j写负无穷表示一个足够小的边界

然后对a中区间[l0,r0]的数加1

我们看用什么样的数据结构能够快速完成查询和修改的操作

 

查询里有2个∑，我们用前缀和去掉一个，用b[i]表示a的前缀和

每一段的贡献就是，即区间求和

那么修改操作对a中区间[l0,r0]的数加1，就是对b中区间[l0,r0]的数加首项为1，公差为1的等差数列

这可以用线段树来完成

时间复杂度nlogn

 

继续想，用c[i]表示b的前缀和，即a的二阶前缀和

那么每一段的贡献就是c[r0-1] - c[l0-2]

区间加操作怎么做？

区间加一个数可以想到利用差分数组变为单点修改

令d表示a的差分数组

现在a b c d的关系是 d是a的差分数组，a是d的前缀和，b是a的前缀和即d的二阶前缀和，c是b的前缀和即d的三阶前缀和

把所有的下标都右移n+1位，变为正整数

 

现在可以用树状数组维护d[k] , k*d[k] , k*k*d[k] 的前缀和

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define N 500003

int nn;
long long c0[N<<1],c1[N<<1],c2[N<<1];

vector<int>v[N];

int a[N],sum[N];

#define lowbit(x) x&-x

long long query(int x)
{
    long long ss=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
        ss+=1ll*(x+1)*(x+2)*c0[i]-(2ll*x+3)*c1[i]+c2[i]; 
    return ss>>1;
}

void change(int x,int k)
{
    for(int i=x;i<=nn;i+=lowbit(i)) 
    {
        c0[i]+=k;
        c1[i]+=k*x;
        c2[i]+=1ll*k*x*x;
    }
}

int main()
{
    int n,x;
    long long ans=0;
    scanf("%d%*d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i) 
    {
        scanf("%d",&x);
        v[x].push_back(i);
    }
    int delta=n+1,y,siz,last;
    nn=2*n+1;
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        v[i].push_back(n+1);
        siz=v[i].size();
        last=0;
        for(int j=0;j<siz;++j)
        {
            x=2*j-last+delta;
            y=2*j-(v[i][j]-1)+delta;
            ans+=query(x-1);
            if(y>2) ans-=query(y-2);
            change(y,1);
            change(x+1,-1);
            last=v[i][j];
        }
        last=0;
        for(int j=0;j<siz;++j)
        {
            x=2*j-last+delta;
            y=2*j-(v[i][j]-1)+delta;
            change(y,-1);
            change(x+1,1);
            last=v[i][j];
        }
    }
    printf("%lld
",ans);
}