hdu 6981/ 2021“MINIEYE杯”中国大学生算法设计超级联赛（3）1009 Rise in Price（剪枝，dp合并）

https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6981

题意：

给出2个n*n的矩阵A和B

起点在(1,1)，终点在(n,n)，每步只能往右或者往下走

得分为路径上的A的和与B的和的乘积

问最大得分

数据随机

解法一：搜索剪枝

因为是随机数据，估价函数优秀一些大概率还是可以过的

参考的这位大佬的做法

https://blog.csdn.net/George_Plover/article/details/119151411

设现在走过的A矩阵的和为sa，将来要走的和为a，现在走过的B矩阵的和为sb，将来要走的和为b

那么总乘积和可以表示为（sa+a）*（sb+b）=sa*sb+sa*b+sb*a+a*b

令C=A+B

则乘积和=sa*sb+sa*(c-a)+sb*a+a*(c-a)

假设当前位置右下角的数我们可以自由调整

c越大，乘积和越大

令Cmax表示当前位置右下角还能获取的最大的A+B之和

式子sa*sb+sa*(Cmax-a)+sb*a+a*(Cmax-a)是一个二元一次方程

当a=(sb-sa+Cmax)/2 时，方程的值最大，Cmax-a可求出对应的b

就可以用这个a b Cmax做最优化剪枝

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define N 101

int n;
int a[N][N],b[N][N],c[N][N];

long long ans;

void dfs(int x,int y,int sa,int sb)
{
    if(x==n && y==n)
    {
        ans=max(ans,1ll*sa*sb);
        return;
    }
    int aa,bb;
    if(x<n)
    {
        aa=sb-sa+c[x+1][y]>>1;
        bb=sa+c[x+1][y]-sb>>1;
        if(1ll*(sa+aa)*(sb+bb)>ans) dfs(x+1,y,sa+a[x+1][y],sb+b[x+1][y]);
    }
    if(y<n)
    {
        aa=sb-sa+c[x][y+1]>>1;
        bb=sa+c[x][y+1]-sb>>1;
        if(1ll*(sa+aa)*(sb+bb)>ans) dfs(x,y+1,sa+a[x][y+1],sb+b[x][y+1]);
    }
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=1;j<=n;++j)
                scanf("%d",&a[i][j]);
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=1;j<=n;++j)
                scanf("%d",&b[i][j]);
        for(int i=n;i;--i)
            for(int j=n;j;--j)
            {
                c[i][j]=a[i][j]+b[i][j];
                if(i<n) c[i][j]=max(c[i][j],a[i][j]+b[i][j]+c[i+1][j]);
                if(j<n) c[i][j]=max(c[i][j],a[i][j]+b[i][j]+c[i][j+1]);
            }
        ans=0;
        dfs(1,1,a[1][1],b[1][1]);
        printf("%lld
",ans);
    }
}

解法二：

std做法

令f[i][j][k]表示走到(i,j)A矩阵之和为k时，最大的B矩阵之和

当k1<=k2时，必须f[i][j][k2]>f[i][j][k1]

出题人说剔除掉无用状态后，k就只有几千个

然而不知道为啥

dp过程中剔除状态的方式值得学习

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define N 101

int n;
int a[N][N],b[N][N];

#define pr pair<int,int>
#define mp make_pair

vector<pr>f[N][N]; 

int cnt;
pr tmp[1000003];

void add(pr d)
{
    while(cnt &&d.second>=tmp[cnt].second) --cnt;
    if(!cnt || d.first>tmp[cnt].first) tmp[++cnt]=d;
}

void merge(vector<pr>&to,vector<pr>x,vector<pr>y)
{
    int s1=x.size(),s2=y.size(),m=0,i=0,j=0;
    cnt=0;
    while(i<s1 && j<s2) add(x[i].first<y[j].first ? x[i++]:y[j++]);
    while(i<s1) add(x[i++]);
    while(j<s2) add(y[j++]);
    to.resize(cnt);
    for(int i=1;i<=cnt;++i) to[i-1]=tmp[i];
}

int main()
{
    int T,s;
    long long ans;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=1;j<=n;++j)
                scanf("%d",&a[i][j]);
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=1;j<=n;++j)
                scanf("%d",&b[i][j]);
        f[1][1].clear();
        f[1][1].push_back(mp(a[1][1],b[1][1]));
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=1;j<=n;++j)
            {
                if(i==1 && j==1) continue;
                else if(i==1) f[i][j]=f[i][j-1];
                else if(j==1) f[i][j]=f[i-1][j];
                else merge(f[i][j],f[i-1][j],f[i][j-1]);
                s=f[i][j].size();
                for(int k=0;k<s;++k)
                {
                    f[i][j][k].first+=a[i][j];
                    f[i][j][k].second+=b[i][j];
                }
            }
        s=f[n][n].size();
        ans=0;
        for(int i=0;i<s;++i) ans=max(ans,1ll*f[n][n][i].first*f[n][n][i].second);
        printf("%lld
",ans);
    }
}