数字图像处理笔记

第四章 数字图像处理的数学基础

一、线性系统理论

1、许多图像处理系统都可以看作是一个线性系统模型。

X(t)  ->  线性系统  ->  y(t)

线性系统满足：

（1）     齐次性

（2）     叠加性

1、 线性空间不变系统

X(t-t₀)  ->  线性不变系统  ->  y(t-t₀)

如果系统响应与输入脉冲的中心位置无关，则该系统称为空间不变系统。

2、 卷积

δ(x,y)  ->  线性时不变系统  ->  h(x,y)

 

*卷积应用：

        *卷积滤波：平滑，边缘增强

        *去卷积（图像成像及退化模型）；

        *……

4、调谐信号分析

       调谐信号能简化线性系统分析，常用于表示正弦信号。

1） 调谐信号

X(t)=e^jwt=coswt+jsinwt

取实部则为正弦信号

X(t)=coswt

2） 线性系统对调谐输入的响应

X₁(t)=e^jwt，y₁(t)=K(w,t)x₁(t)=K(w,t)e^jwt

X₂(t)=x₁(t-T)=e^jw(t-T)=e^jwte^-jwT

Y₂(t)=K(w,t)x₂(t)=K(w,t)e^jwte^-jwt

根据移不变性质

Y₂(t)=y₁(t-T)=K(w,t-T)x₁(t-T)

显然K(w,t)=K(w,t-T)

因此，y(t)=k(w)x(t)

       结论：线性移不变系统对于调谐信号的响应等于输入信号乘以一个复函数。

3） 调谐信号与正弦信号

a)      将输入的正弦信号表示成调谐信号；

b)      计算线性系统对此调谐信号的响应；

c)      取调谐输出的实部为真正的输出。

4） 线性移不变系统的重要性质

a)      调谐输入宗是产生同样频率的调谐输出；

b)      传递函数对调谐信号输入只产生两种影响——幅度的变化和相位的平移。

3、 常用函数

1） 矩形函数

2） 三角脉冲

3） 高斯函数

4） 冲激函数

5） 阶跃函数