【数据结构】子序列自动机

子序列自动机

这东西是我刷 ARC 的时候遇到的，慕名而来。

结合模板题阅读：

https://www.luogu.com.cn/problem/P5826

构建

这个自动机原理十分简单，你可以将它当作一个 dp 来食用：

记所给的字符串为 \(w\)，字符集为 \(S\)，\(next[i][ch]\) 为第 \(i\) 个字符之后（不包括位置 \(i\)）字符 \(ch\) 所在的最近的位置。

那么我们有转移方程：

\[next[i][j] = next[i+1][j] ~~~~~~~ (w[i+1] \ne j) \\ next[i][j] = i+1 ~~~~~~~ (w[i+1] = j) \]

注意到转移的方向，我们只需要倒序扫一遍字符串并构建 \(next\) 即可。

优化

当字符集 \(S\) 大小 \(|S|\) 很小的时候，直接转移就够了。

那，\(|S|\) 比较大的时候如何处理呢？

注意到对于上面的转移方程，其实只有字符 \(j = w[i+1]\) 的时候 \(next[i][j]\) 才会被更新，那么我们不妨将 \(next[i]\) 看成是一个桶（值域是字符集），则我们需要做的操作就是在桶的位置 \(j\) 作单点修改。

而因为我们需要开 \(n\)（字符串 \(w\) 长度）次桶，每次都相应地作单点修改，因此这一过程可以用主席树来维护。

查询是否存在所求子序列

由 \(next\) 构建过程知这是基于贪心的思想构建的，所以我们将待查询的串 \(str\) 扔到 \(next\) 上并根据查询串的字符作转移，如果跳出去了就肯定没有，反之必然有，复杂度 \(O(|str|)\)。

也就是本模板题，代码见下面的实现。

实现

截至目前，洛谷最优解有五页，我排到第四页，QAQ。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define debug(x) cerr << #x << ": " << (x) << endl
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define dwn(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define pb push_back
#define all(x) (x).begin(), (x).end()

#define x first
#define y second
using pii = pair<int, int>;
using ll = long long;

inline void read(int &x){
    int s=0; x=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-')x=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9') s=(s<<3)+(s<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    x*=s;
}

const int N=1e5+5;

struct Node{
	int l, r;
	int go;
}tr[N*25];

int root[N], idx;

int qwq, n, q, m;
int w[N];

void upd(int &p, int q, int l, int r, int x, int k){
	p=++idx;
	tr[p]=tr[q];
	if(l==r){;
		tr[p].go=k;
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	if(x<=mid) upd(tr[p].l, tr[q].l, l, mid, x, k);
	else upd(tr[p].r, tr[q].r, mid+1, r, x, k);
}

void build(){
	dwn(i,n,1) upd(root[i-1], root[i], 1, m, w[i], i);
}

int query(int u, int l, int r, int x){
	if(l==r) return tr[u].go;
	int mid=l+r>>1;
	if(x<=mid) return query(tr[u].l, l, mid, x);
	return query(tr[u].r, mid+1, r, x);
}

int main(){
	cin>>qwq>>n>>q>>m;
	rep(i,1,n) read(w[i]);
	
	build();
	
	while(q--){
		int k; read(k);
		bool ok=true;
		int u=0;
		while(k--){
			int x; read(x);
			auto go=query(root[u], 1, m, x);
			if(!go) ok=false;
			if(ok) u=go;
		}
		puts(ok? "Yes": "No");
	}
	
	return 0;
}