随机变量
定义
一般地，随机变量是从 (Omega)（样本空间）到实数域上的函数。
累积分布函数
(F(x) = P(Xleq x),xin(-∞,∞))
离散随机变量
是只取有限值或至多可列无限值的随机变量。
一般地，能与整数集形成一一对应的集合就是可列无限集。
伯努利随机变量
频率函数为：
二项分布
假设进行 (n) 次独立实验，每次实验成功的概率为 (p)，失败的概率为 (1-p)，那么成功的次数 (X) 参数为 (n,p) 的二项随机变量。
(p(k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k})
泊松分布
泊松分布多出现在当 (X) 表示在一定的时间或空间内出现的事件个数这种场合。
当 (n) 较大，(p) 较小时，泊松频率函数可以用来近似二项概率。
参数为 (lambda) 的泊松频率函数为：
(p(k) = frac{lambda ^ k}{k!}e^{-lambda})
推导
考察时间段 ([0, 1)) 事件 (A) 发生的次数 (X)。
我们将时间段均匀划分为 (n) 段，并假定对于每个时间段，事件 (A) 恰好发生一次的概率与 (1/n) 成正比，设 (p = lambda/n)。
因为 (p) 是很小的，所以我们可以将长度为 (1/n) 的时间段发生事件 (A) 次数大于 (1) 的概率看作是 (0)。
那么 (X) 显然是服从参数为 ((n, p)) 的二项分布的（记为 (Xsim B(n, p))），因此有
(p(k) = C_n^k (frac{lambda}{n})^k(1-frac{lambda}{n})^{n-k})
当 (n o ∞) 时，
(frac{C_n^k}{n^k} = frac{1}{k!} \ (1-frac{lambda}{n})^{n-k} = e^{-lambda})
故 (p(k) = frac{lambda ^ k}{k!}e^{-lambda})。
连续随机变量
密度函数
对于连续随机变量，频率函数被密度函数 (f(x)) 取代，密度函数具有性质：
(f(x) geq 0 \ int_{-∞}^∞ f(x)dx = 1)
如果 (X) 是具有密度函数 (f) 的随机变量，那么它落在 ((a, b)) 的概率为：
(P(a<x<b) = int_a^bf(x)dx)
均匀密度
一般地，区间 ([a, b]) 的均匀密度是：
指数密度
指数分布常用来刻画生命周期或等待时间。
密度函数为：
分布函数为：
推导
假定事件 (A) 是无记忆性的，以无记忆性的元件寿命为例，这意味着从 (0) 时刻开始至少存活到到 (t) 时刻的概率等于 (s) 时刻开始至少存活至 (s+t) 时刻的概率是相等的。
有了这个假定，我们从 (0) 时刻开始考察，假设事件 (A) 未发生，时刻 (Delta T) 发生的概率为 (p = lambda Delta T)。
记事件 (A) 在时刻 (x) 发生的概率密度为 (f(x))，那么事件 (A) 在时刻 (x) 发生（之前不发生）的概率为：
(f(x)Delta T = (1-p)^{x/Delta T -1}p)
因此 (f(x) = lim_{Delta T o 0}(1-lambdaDelta T)^{x/Delta T-1}lambda = lambda e^{-lambda x})
正态分布
(f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}sigma}e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}},~xin(-infty, +infty),mu in(-infty,+infty),~sigmain(0,+infty))
(mu) 称为均值，(sigma) 称为标准差。
推导很复杂的样子
qwq，待补。
随机变量的函数
(X) 为具有密度为 (f_X(x)) 的随机变量，随机变量 (Y=g(X))（其中 (g) 可微并在区间 (I) 上单调），那么 (f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y))|frac{dg^{-1}(y)}{dy}|)
推导
不妨设 (g) 单调递增。
(F_Y(y) = P(Yleq y) = P(g(X)leq y) = P(Xleq g^{-1}(y)) = F_X(g^{-1}(y)))，对 (y) 求导即得：
(f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) frac{dg^{-1}(y)}{dy})
(g) 单调递减的情况完全类似，有 (f_Y(y) = -f_X(g^{-1}(y)) frac{dg^{-1}(y)}{dy})
故我们统一写成 (f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y))|frac{dg^{-1}(y)}{dy}|)。