定义1.1.1 设(X)是一个集合，( ho: X imes X omathbb{R}.) 如果对于任何(x, y, zin X,) 有正定性、对称性、三角不等式,则称( ho)是集合(X)的一个度量.
如果( ho)是集合(X)的一个度量，则称偶对((X, ho))是一个度量空间，此外，对于任意两点(x, yin X), 实数( ho(x,y))称为从点(x)到点(y)的距离.
例1.1.1 实数空间 (mathbb{R}.)
定义( ho(x,y)=|x-y|.) 这个度量空间特别地称为实数空间或直线，度量( ho)称为(mathbb{R})的通常度量.
例1.1.2 (n)维欧氏空间 (mathbb{R}^n.)
定义: 对于任意 (x=(x_1,x_2,cdots,x_n), y=(y_1,cdots,y_n)inmathbb{R}^n), 令
[
ho(x,y)=sqrt{sum^n_{i=1}(x_i-y_i)^2}.
]
称为通常度量.
例1.1.3 Hilbert 空间(mathbb{H}).
记(mathbb{H})为平方收敛的所有实数序列构成的集合, 定义
[
ho(x,y)=sqrt{sum^{infty}_{i=1}(x_i-y_i)^2}.
]
例1.1.4 离散的度量空间.
设((X, ho))是一个度量空间，称((X, ho))是离散的，如果对于每一个(xin X), 存在一个实数(delta_x>0) 使得 ( ho(x,y)>delta_x) 对于任何(yin X, y eq x)成立.
定义1.1.2 设((X, ho))是一个度量空间, (xin X). 对于任一给定的实数 (varepsilon>0), 集合
[{yin X|
ho(x,y)<varepsilon}
]
记作(B(x,varepsilon)), 称为一个以(x)为中心, (varepsilon)为半径的球形邻域.
定理1.1.1 度量空间((X, ho))的球形邻域具有以下基本性质:
(1) 每一点(xin X)至少有一个球形邻域, 并且点(x)属于它的每一个球形邻域.
(2) 对于点(xin X)的任意两个球形邻域，存在(x)的一个球形邻域同时包含于两者.
(3) 如果(yin X)属于(xin X)的某一个球形邻域，则(y)有一个球形邻域包含于(x)的那个球形邻域.
定义1.1.3 设(A)是度量空间(X)的一个子集, 如果(A)中每一点都有一个球形邻域包含于(A), 则称(A)是度量空间(X)中的一个开集.
定理1.1.2 度量空间(X)中的开集具有以下性质:
(1) 集合(X)和空集都是开集.
(2) 任意两个开集的交是开集.
(3) 任意一个开集族的并是一个开集.
为了方便，我们将球形邻域的概念推广。