复球面、扩充复平面、复微分、解析

复球面和扩充复平面

引入坐标，得到复平面(mathbb{C}),但如何处理无穷远点？引入(infty),以此来扩展(mathbb{C}),对所有有限的复数(ainmathbb{C},a+infty=infty+a=infty,) 对所有的(binmathbb{C},b eq0, bcdotinfty=inftycdot b=infty,frac{b}{0}=infty,frac{a}{infty}=0.) (mathbb{C})中所有点加上"(infty)",组成扩充复平面，记作(mathbb{C}^{*}), 即(mathbb{C}^{*}=mathbb{C}cup{infty}.)
下面对扩充复平面做一个几何模型，考察一个三维空间的单位球面(S^2),其方程为(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)（三维空间的直角坐标为(x_1,x_2,x_3)）,在(s^2)上的每一点，除了(0,0,1)以外，我们可用一复数$$ z=frac{x_1+ix_2}{1-x_3} $$
与之相对应，这个对应是一对一的，事实上$$ x_3=frac{|z|^2-1}{|z|2+1},~~~ x_1=frac{z+ar{z}}{1+|z|^2},~~~ x_2=frac{z-ar{z}}{1+|z|^2}.$$
令无穷远处对应点(0,0,1), 就完成了球面和扩充复平面的点的一一对应. 把球面(S^2)称为Riemann 球面，显然，(x_3<0)的半球面对应于单位圆盘(|z|<1), 而(x_3>0)的半球面对应于单位圆盘的外部(|z|>1).

复微分

如同普通微积分那样，定义复数域上的复值函数(w=f(z)), 为了有确切定义，先限定(f(z))是单值的. 用(varepsilon-delta)语言来定义函数极限，即$$ limlimits_{z o a}f(z)=A,$$
同理实值函数的极限定义. 如果(limlimits_{z o a}f(z)=f(a)),则称(f)在(a)点连续.
如同普通微积分那样，可以在复平面上定义开集、闭集、集合的连通性、紧致性，等等. 定义复平面中的曲线为区间([alpha,eta])上的连续复值函数(gamma(t):=x(t)+iy(t)),其中(alphaleq tleqeta), (x(t),y(t))为(t)的连续实值函数. 如果(gamma(alpha)=gamma(eta)),则称(gamma(t))为闭曲线. 曲线的方向就是(t)增加的方向. 如果(gamma'(t))存在且连续，则称(gamma(t))为光滑曲线，如果(gamma'(t))除去有限个点外是连续的, 在这有限个点处有左右导数, 则称为分段光滑曲线. 分段光滑曲线是可求长的. 若(gamma(t))是单射,则称为简单曲线, 或Jordan曲线, 进而有简单闭曲线或Jordan闭曲线.

定义1 复平面上的一个点集(D)称为一个域, 如果

(1) (D)为开集.
(2) (D)为连通的, 即(D)中任意两点均可用完全位于(D)中的曲线把它们连接起来.
下面的事实是直观的，但证明起来却很复杂，故述而不证.

定理2 Jordan定理 一条简单闭曲线(gamma)把复平面分成两个域, 其中一个是有界的，称为(gamma)的内部，另一个是无界的，称为外部. (gamma)是这两个域的共同边界.

域(D)的边界记为(partial D). 域(D)被称为是单连通的，如果(D)内任何简单闭曲线的内部仍属于(D),不是单连通的区域称为多连通的. 由两条Jordan闭曲线所围成的域是二连通域, 由(n)条Jordan闭曲线所围成的区域是(n)连通域，这些闭曲线可能退化成为一个点或一条Jordan曲线. 此外，如同实数域的情形那样，可以证明Heine-Borel, Bolzano-weierstrass.
现在来讨论复变函数的导数.

定义3 实可微. 设(f)是从开集(Omega)到(mathbb{C})中的函数, (ainOmega,) 如果存在复常数(A,B)使得$$limlimits_{z o 0}frac{f(a+z)-f(a)-Ax-By}{z}=0,$$

则称(f)在(a)处实可微.
极限式可写作$$f(a+z)=f(a)+xA+yB+o(z)~~~(z=x+iy o 0).$$
如果(f(z)=u(x,y)+iv(x,y))在(a=a_1+ia_2)处实可微, 可以定义(f(z))在(a)点的微分为(df(a)=du(a_1,a_2)+idv(a_1,a_2)), 简记为(df=du+idv). 进而有$$df(a)=frac{partial f}{partial x}(a)dx+frac{partial f}{partial y}(a)dy.$$
引入微分算子$$frac{partial}{partial z}=frac{1}{2}(frac{partial}{partial x}-ifrac{partial}{partial y}), frac{partial}{partialar{z}}=frac{1}{2}(frac{partial}{partial x}+ifrac{partial}{partial y}).$$
相应地，有$$df=frac{partial f}{partial z}dz+frac{partial f}{partialar{z}}dar{z}.$$

复可微、解析

定义1 若(w=f(x),)那么自然考察$$limlimits_{h o0}frac{f(z+h)-f(z)}{h},$$这里, (h)为复数, 如果这个极限对于所有的(h o0)都存在且相同, 则称(f(z))在(z)点复可微, 记作(frac{df}{dz})或者(f'(z)),称为(f(z))在点(z)处的微商或导数. 如果(f(z))在定义域上每一点都可微, 则称(f(z))为其定义域上的解析函数(analytic function)或全纯函数（holomorphic function）.

若(f(z)=u(z)+iv(z))在点(z_0=x_0+iy_0)处可微, 则

[limlimits_{z o z_0}frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=f'(z_0)$$对于任意途径的$z o z_0$都存在相等, 则有Cauchy-Riemann 方程 $$ u_x=v_y,~~~ u_y=-v_x.]

要知道, C-R方程为(f)在(z)点复可微的必要条件，但不充分.

定理2 设(f(z))是定义在开集(Omega)上的复变函数, (ainOmega), 如果(f(z))在(a)点复可微, 则(f(z))在(a)处实可微且(frac{partial f}{partialar{z}}(a)=0, f'(a)=frac{partial f}{partial z}(a).)

定理3 函数(f(z)=u+iv)在域(D)内全纯的充要条件是: (u,v)在(D)内有一阶连续偏微商，且满足C-R 方程.