背包九讲-01背包

tianyi cui 的背包九讲老版本：http://love-oriented.com/pack/，

更新后的版本PDF下载：http://cuitianyi.com/blog/%E3%80%8A%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%97%AE%E9%A2%98%E4%B9%9D%E8%AE%B2%E3%80%8B2-0-alpha1/

新版pdf下载地址2：http://download.csdn.net/detail/tangzhangpeng/5591321

本文实现了新版本第一章 “01背包问题”，代码中的注释也是针对新版本。

pdf 1.5 小节中的小错误，常数优化应该是

，对Ci求和而不是对Wi求和

对1.5常数优化的解释：前 i  个物品获得的空间最小值是：，即后面i~N个物品装满后剩余的空间，若剩余空间小于Ci，则为Ci

算法测试数据来自：http://www.cnblogs.com/jisi5789/archive/2013/04/11/3015745.html

相关代码如下：

#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
using namespace std;

inline int max(int a, int b)
{
    return a>b?a:b;
}

int ZeroOnePack1(int n, int v, int c[], int w[], bool needFull)
{
    //根据tianyi cui背包九讲1.2的最原始的解法
    //时间空间复杂度均为O(nv)
    // n 物品数量
    // v 背包容量
    // c[] 物品耗费的空间,从c[1]开始
    // w[] 物品的价值，从w[1]开始
    // needFull 背包是否需要完全装满
    const int MIN = numeric_limits<int>::min(); //表示负无穷
    int **f = new int*[n+1];
    for(int i = 0; i < n+1; i++)
        f[i] = new int[v+1];
    if(needFull)  //初始化细节详见 背包九讲1.4
    {
        for(int i = 0; i <= n; i++)
            for(int j = 0; j <= v; j++)
                f[i][j] = MIN;
        f[0][0] = 0;
    }
    else 
    {
        for(int i = 0; i <= n; i++)
            for(int j = 0; j <= v; j++)
                f[i][j] = 0;
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = c[i]; j <= v; j++)
        { 
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - c[i]] + w[i]);
        }
    if(f[n][v] < 0)return -1;  //针对背包装满的情况，没有满足的答案
    return f[n][v];
}

int ZeroOnePack2(int n, int v, int c[], int w[], bool needFull)
{
    //根据tianyi cui背包九讲1.3在1.2的基础上优化空间复杂度后的解法
    //时间复杂度均为O(nv),空间复杂度为O(v)
    // n 物品数量
    // v 背包容量
    // c[] 物品耗费的空间,从c[1]开始
    // w[] 物品的价值，从w[1]开始
    // needFull 背包是否需要完全装满
    const int MIN = numeric_limits<int>::min(); //表示负无穷
    int *f = new int[v+1];
    if(needFull)  //初始化细节详见 背包九讲1.4
    {
        for(int i = 0; i <= v; i++)
            f[i] = MIN;
        f[0] = 0;
    }
    else 
    {
        for(int i = 0; i <= v; i++)
            f[i] = 0;
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = v; j >= c[i]; j--)
        { 
            f[j] = max(f[j], f[j - c[i]] + w[i]);
        }
    if(f[v] < 0)return -1;  //针对背包装满的情况，没有满足的答案
    return f[v];
}

int ZeroOnePack3(int n, int v, int c[], int w[], bool needFull)
{
    //根据tianyi cui背包九讲1.5,在1.3的基础上有个常数的优化，在v较大时，有明显优势
    //时间复杂度均为O(nv),空间复杂度为O(v)
    // n 物品数量
    // v 背包容量
    // c[] 物品耗费的空间,从c[1]开始
    // w[] 物品的价值，从w[1]开始
    // needFull 背包是否需要完全装满
    const int MIN = numeric_limits<int>::min(); //表示负无穷
    int *f = new int[v+1];
    if(needFull)  //初始化细节详见 背包九讲1.4
    {
        for(int i = 0; i <= v; i++)
            f[i] = MIN;
        f[0] = 0;
    }
    else 
    {
        for(int i = 0; i <= v; i++)
            f[i] = 0;
    }
    
    int csum = 0;
    c[0] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)csum += c[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        csum -= c[i-1];
        for(int j = v; j >= max(c[i], v - csum); j--)
        { 
            f[j] = max(f[j], f[j - c[i]] + w[i]);
        }
    }
    if(f[v] < 0)return -1;  //针对背包装满的情况，没有满足的答案
    return f[v];
}

int main()
{
    //87
    int c[] = {0,2,7,3,4,8,5,8,6,4,16};
    int w[] = {0,15,25,8,9,15,9,13,9,6,14};
    int result = ZeroOnePack3(10, 34, c, w, true);
    cout<< result <<endl;
    
    //82
    int c1[] = {0,4,5,7,2,8,3,6,1,10,9};
    int w1[] = {0,25,14,15,4,14,5,8,1,10,2};
    int result1 = ZeroOnePack3(10, 34, c1, w1, true);
    cout<< result1 <<endl;
    
    //-1
    int c2[] = {0,2,3,6};
    int w2[] = {0,15,10,16};
    int result2 = ZeroOnePack3(3, 10, c2, w2, true);
    cout<< result2 <<endl;
    
    //85
    int c3[] = {0,2,8,4,4,8,7,8,5,16,16};
    int w3[] = {0,15,25,9,9,15,12,12,6,14,9};
    int result3 = ZeroOnePack3(10, 34, c3, w3, true);
    cout<< result3 <<endl;
    
    //83
    int c4[] = {0,4,5,7,2,8,3,9,6,1,10};
    int w4[] = {0,25,14,15,4,14,5,14,8,1,10};
    int result4 = ZeroOnePack3(10, 34, c4, w4, true);
    cout<< result4 <<endl;
}

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