[离散时间信号处理学习笔记] 6. 离散时间傅里叶变换

要理解这节课的内容需要先对傅里叶变换有一定程度的了解，这里主要分析的是离散时间傅里叶变换，这部分算是从傅里叶变换到离散傅里叶变换的过渡内容。推荐阅读[傅里叶变换及其应用学习笔记] 课程概览中离散傅里叶变换开头的相关课程。

离散时间傅里叶变换

离散时间傅里叶变换（Discrete-Time Fourier Transform），简称DTFT，DTFT是从傅里叶变换（FT）中的来的。

 

从FT到DTFT

FT的分析对象是时域上的连续时间函数$x(t)$，DTFT的分析对象是对时域上的序列$x[n]$。两者间有如下关系：

$x[n] = x(n), -infty<n<infty$

$x[n]$相当于$x(t)$在$n$上的取样，不过$x[n]$终究是离散序列，为了使它跟傅里叶变换扯上关系，有必要把$x[n]$转化成连续时间函数。而数学上可以用原函数与脉冲函数的乘积来表示取样。

$egin{align*}
x_s(t) &= x(t) sum_{n=-infty}^{infty}delta(t-n)\
&=sum_{n=-infty}^{infty}x(n)delta(t-n)\
&=sum_{n=-infty}^{infty}x[n]delta(t-n)
end{align*}$

此时，上述取样仍然为连续时间函数，对它进行傅里叶变换

$egin{align*}
X_s(e^{jomega}) = mathcal{F}x_s(t) &=sum_{n=-infty}^{infty}x[n]mathcal{F}delta(t-n)\
&= sum_{n=-infty}^{infty}x[n]e^{-jomega n}
end{align*}$

即得到

$color{red}{X(e^{jomega}) = displaystyle{ sum_{n=-infty}^{infty}x[n]e^{-jomega n} }}$

这个式子就被称为DTFT。其中变量$omega$为频率。那么相对地，通过$X(e^{jomega})$来还原序列$x[n]$的式子就被称为IDTFT（可以从傅里叶级数的式子进行推导得到）

$color{red}{displaystyle{x[n] = frac{1}{2pi}int_{-pi}^{pi}X(e^{jomega})e^{jomega n}domega }}$

对于DTFT，套用推导傅里叶级数的思想：在时域上有一个序列$x[n]$，组成它幂级数$e^{jomega n}$的频率分布在$(-pi,pi)$之间，在频域上呈现出一个函数$X(e^{jomega})$。

一般来说，序列在进行DTFT后得到的是一个变量为$omega$的复函数，这点和频率响应一样，它可以表示为实部与虚部的形式

$X(e^{jomega}) = X_R(e^{jomega})+jX_I(e^{jomega})$

也可以表示为幅度与相位的形式

$X(e^{jomega}) = |X(e^{jomega})|e^{jangle X(e^{jomega})}$

DTFT与频率响应

频率响应有如下定义

$H(e^{jomega}) = displaystyle{sum_{n=-infty}^{infty}h[n]e^{-jomega n} }$

对比上述傅里叶变换，可以发现频率响应就是单位脉冲响应的DTFT，那么通过对频率响应进行IDTFT即可得到单位脉冲响应

$displaystyle{h[n] = int_{-pi}^{pi}H(e^{jomega})e^{jomega n}domega}$

DTFT的收敛性

收敛性问题我们在傅里叶变换课程能也有讨论过，这里从序列这边展开讨论。DTFT不是对任何序列都适用的，显然它对序列有一定的要求。

首先假设有一函数$X(e^{jomega})$，其对应的序列为$x[n]$

• 如果$displaystyle{sum_{n=-infty}^{infty}|x[n]|<infty}$，则DTFT得到的函数会绝对收敛于$X(e^{jomega})$，$displaystyle{X(e^{jomega}) = X_M(e^{jomega})=lim_{M oinfty}sum_{n=-M}^{M}x[n]e^{-jomega n}}$
• 如果$displaystyle{sum_{n=-infty}^{infty}|x[n]|^2<infty}$，则DTFT得到的函数会均方收敛于$X(e^{jomega})$，$displaystyle{lim_{M oinfty}int_{-pi}^{pi}|X(e^{jomega})-X_M(e^{jomega})|^2domega = 0}$
• 对于不收敛的序列$x[n]$，有时也能得到其DTFT，如$u[n]$进行DTFT后可以得到$U(e^{jomega}) = frac{1}{1-e^{-jomega}}+displaystyle{sum_{r=-infty}^{infty}pidelta(omega+2pi r)}$

关于收敛的意义，下面的均方收敛的例子能很好地展示其收敛过程。

有一低通滤波器的频率响应如下

$H_{lp}(e^{jomega})=left{egin{matrix}
1, &|omega|<omega_c \
0, & omega_c<|omega|leqslantpi
end{matrix} ight.$

单位脉冲响应是频率响应的逆傅里叶变换

$egin{align*}
h_{lp}[n] &=frac{1}{2pi}int_{-omega_c}^{omega_c}e^{jomega n}domega \
&= left [frac{1}{2pi jn}e^{jomega n} ight ]_{-omega_c}^{omega_c}\
&= frac{1}{2pi jn}(e^{jomega_c n}-e^{-jomega_c n})\
&= frac{sinomega_c n}{pi n} quad -infty<n<infty
end{align*}$

可以看到当$n oinfty$时，这个序列仅以$frac{1}{n}$趋于0，因此$h_{lp}[n]$不是绝对可加的，也就是说

$displaystyle{ sum_{n=-infty}^{infty}frac{sinomega_c n}{pi n}e^{-jomega n} }$

并不绝对收敛于$H_{lp}(e^{jomega})$。为了获得直观上的理解，先来考虑作为有限项和的

$color{red}{H_{M}(e^{jomega}) = displaystyle{sum_{n=-M}^{M}frac{sinomega_c n}{pi n}e^{-jomega n}}}$

当$M=1,3,7,19$时分别如下图所示

    

    

可以发现随着$M$增大，有限项和越来越趋近与原来的频率响应。但同时也有一个问题，在$omega_c$点附近的波形一直都是振荡的，并且幅度没有变小，而是随着$M$的增大越发集中于$omega_c$。也就是说对$h_{lp}[n]$进行DTFT后得到的函数不是绝对收敛于$H_{lp}(e^{jomega})$的，但它是均方收敛的。

DTFT的对称性质

对称性质主要用于简化计算。

我们现实中所碰到的序列多是实数序列，不过在对信号进行傅里叶分析时，则不可避免地把序列$x[n]$的范围扩展到复数域。对于复数序列$x[n]$，它可以被分为实数部分$x_R[n]$与虚数部分$x_I[n]$。

    

共轭对称与共轭反对称

如果一个序列的实数域对称，虚数域反（原点）对称，则称该序列为共轭对称序列（conjugate-symmetric sequence），该序列用$x_e[n]$来表示，有$x_e[n] = x_e^{*}[-n]$

    

如果一个序列的实数域反（原点）对称，虚数域对称，则称该序列为共轭反对称序列（conjugate-antisymmetric sequence），该序列用$x_o[n]$来表示，有$x_o[n] = -x_o^{*}[n]$

    

任何序列$x[n]$都能表示成一个共轭对称序列和一个共轭反对称序列之和

$x[n] = x_e[n]+x_o[n]$

其中

$left{egin{matrix}
x_e[n] &=&frac{1}{2}(x[n]+x^*[-n]) &=&x_e^*[-n] \
x_o[n] &=&frac{1}{2}(x[n]-x^*[-n]) &=&-x_o^*[-n]
end{matrix} ight.$

利用共轭对称的定义容易证明上述等式是成立的，利用共轭对称的图示也能很好地理解。

同理，复函数也可以有共轭对称这一特征。DTFT得到的复函数$X(e^{jomega})$也能分解为共轭对称和共轭反对称函数之和

$X(e^{jomega}) = X_e(e^{jomega})+X_o(e^{jomega})$

其中

$left{egin{matrix}
X_e(e^{jomega}) &=&frac{1}{2}[X(e^{jomega})+X^*(e^{jomega})] &=&X_e^*(e^{jomega}) \
X_o(e^{jomega}) &=&frac{1}{2}[X(e^{jomega})-X^*(e^{jomega})] &=&-X_o^*(e^{jomega})
end{matrix} ight.$

DTFT的对称性质

DTFT有如下表的对称性质

序列x[n]

DTFT X(e^jω)

1. x*[n]	X*(e-jω)
2. x*[-n]	X*(ejω)
3. Re{x[n]}	Xe(ejω)  (X(ejω)的共轭对称部分)
4. jIm{x[n]}	Xo(ejω)  (X(ejω)的共轭反对称部分)
5. xe[n]  (x[n]的共轭对称部分)	XR(ejω)=Re{X(ejω)}
6. xo[n]  (x[n]的共轭反对称部分)	jXI(ejω)=jIm{X(ejω)}

以下性质仅适用于x[n]为实序列

7. 任意实x[n]	X(ejω)=X*(e-jω)  (共轭对称)
8. 任意实x[n]	XR(ejω)=XR(e-jω)  (实部为偶函数（对称）)
9. 任意实x[n]	XI(ejω)=-XI(e-jω)  (虚部为奇函数（反对称）)
10. 任意实x[n]	|X(ejω)|=|X(e-jω)|  (幅度为偶函数（对称）)
11. 任意实x[n]	∠X(ejω)=∠X(e-jω)  (相位为奇函数（反对称）)
12. xe[n]  (x[n]的偶部（对称部分）)	XR(ejω)
13. xo[n]  (x[n]的奇部（反对称部分）)	jXI(ejω)

上述性质中，只要证明了性质1，同理即可证明性质2，后面的性质可以通过上述共轭对称之和的等式中容易证明。

性质1证明：

对$x^{*}[n]$进行DTFT

$egin{align*}
sum_{n=-infty}^{infty}x^*[n]e^{-jomega n}
&=sum_{n=-infty}^{infty}x_R[n](cosomega n-jsinomega n)-jsum_{n=-infty}^{infty}x_I[n](cosomega n-jsinomega n)\
&=sum_{n=-infty}^{infty}x_R[n]cosomega n-jsum_{n=-infty}^{infty}x_R[n]sinomega n-jsum_{n=-infty}^{infty}x_I[n]cosomega n-sum_{n=-infty}^{infty}x_I[n]sinomega n\
&=left(sum_{n=-infty}^{infty}x_R[n]cosomega n-sum_{n=-infty}^{infty}x_I[n]sinomega n ight)-jleft( sum_{n=-infty}^{infty}x_R[n]sinomega n+sum_{n=-infty}^{infty}x_I[n]cosomega n ight)\
&=left(sum_{n=-infty}^{infty}|x[n]|cosphi cosomega n-sum_{n=-infty}^{infty}|x[n]|sinphi sinomega n ight )\
&quad-jleft(sum_{n=-infty}^{infty}|x[n]|cosphi sinomega n+sum_{n=-infty}^{infty}|x[n]|sinphi cosomega n ight)quad letting phi=angle x[n]\
&=sum_{n=-infty}^{infty}|x[n]|cos(phi+omega n)-jsum_{n=-infty}^{infty}|x[n]|sin(phi+omega n)\
end{align*}\$

对$x[n]$进行DTFT

$egin{align*}
sum_{n=-infty}^{infty}x[n]e^{-jomega n}
&= sum_{n=-infty}^{infty}|x[n]|e^{jangle x[n]}e^{-jomega n} \
&= sum_{n=-infty}^{infty}|x[n]|e^{j(phi-omega n)}quad letting phi=angle x[n]\
&=sum_{n=-infty}^{infty}|x[n]|cos(phi-omega n)+jsum_{n=-infty}^{infty}|x[n]|sin(phi-omega n)\
end{align*}$

对比两个结果即可发现$x^*[n]$进行DTFT后得到的是$X^*(e^{-jomega})$

DTFT的相关定理

本书是把DTFT描述成序列的傅里叶变换，用的也是傅里叶变换的符号$mathcal{F}$。

DTFT的相关定理与傅里叶变换相关定理相差无几，如有必要也能用同样的方法推导得出，下面只进行定理的罗列

序列x[n],y[n]

DTFT X(e^jω),Y(e^jω)

1. $ax[n]+by[n]$	$aX(e^{jomega})+bY(e^{jomega})$
2. $x[n-n_d]$ ($n_d$为整数)	$e^{-jomega n_d}X(e^{jomega})$
3. $e^{jomega_0 n}x[n]$	$X(e^{j(omega-omega_0)})$
4. $x[-n]$	$X(e^{-jomega})$
5. $nx[n]$	$jfrac{dX(e^{jomega})}{domega}$
6. $x[n]*y[n]$	$X(e^{jomega})Y(e^{jomega})$
7. $x[n]y[n]$	$frac{1}{2pi}int_{-pi}^{pi}X(e^{j heta})Y(e^{j(omega- heta)})domega$

帕斯瓦尔定理:

8. $displaystyle{sum_{n=-infty}^{infty}|x[n]|^2=frac{1}{2pi}int_{-pi}^{pi}|X(e^{jomega})|^2domega }$

9. $displaystyle{sum_{n=-infty}^{infty}x[n]y^*[n]=frac{1}{2pi}int_{-pi}^{pi}X(e^{jomega})Y^*(e^{jomega})domega }$

其中1为线性性质，2与3为移位定理，4为对偶性质，5为微分定理，6与7为卷积定理。

下面列出的是一些常用序列的DTFT

序列

DTFT

1. $delta[n]$	$1$
2. $delta[n-n_0]$	$e^{-jomega n_0}$
3. $1quad -infty<n<infty$	$displaystyle{ sum_{k=-infty}^{infty}2pidelta(omega+2pi k) }$
4. $a^nu[n]quad (|a|<1)$	$frac{1}{1-ae^{-jomega}}$
5. $u[n]$	$frac{1}{1-e^{-jomega}}+displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty}pidelta(omega+2pi k)}$
6. $(n+1)a^nu[n]quad (|a|<1)$	$frac{1}{(1-ae^{-jomega})^2}$
7. $frac{r^nsinomega_p(n+1)}{sinomega_p}u[n]quad (|r|<1)$	$frac{1}{1-2rcosomega_p e^{-jomega}+r^2e^{-j2omega}}$
8. $frac{sinomega_c n}{pi n}$	$X(e^{jomega})=left{egin{matrix}1, &|omega|<omega_c \ 0, &omega_c<|omega|leqslantpiend{matrix} ight.$
9. $x[n]=left{egin{matrix}1, &0leqslant nleqslant M \ 0, &elseend{matrix} ight.$	$frac{sin[omega(M+1)/2]}{sin(omega/2)}e^{-jomega M/2}$
10. $e^{jomega_0 n}$	$displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty}2pidelta(omega-omega_0+2pi k)}$
11. $cos(omega_0 n+phi)$	$displaystyle{ sum_{k=-infty}^{infty}[pi e^{jphi}delta(omega-omega_0+2pi k)+pi e^{-jphi}delta(omega+omega_0+2pi k)] }$