二阶线性差分方程的齐次解/通解
以下面的二阶线性差分方程为例
$ay_{t+2}+by_{t+1}+cy_t = d$
我们在求该差分方程的齐次解(通解)时,会令等式右边等于0,得到二阶齐次线性差分方程:
$ay_{t+2}+by_{t+1}+cy_t = 0$
并假设
$y_t = Aomega^t$
把该假设代入上面齐次方程,整理后得到:
$aomega^2+bomega+c = 0$
这个一元二次方程的根为
$omega = frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$
二阶线性差分方程中的根
$omega$是该方程的根(characteristic root),又称为该方程的特征值(eigen value)。此时$omega$可以分成三种情况讨论。
$b^2-4ac >0 $
此时$omega$分别为两个不相同的实数
差分方程的齐次解为:
$y_h(t) = A_1omega_1^t+A_2omega_2^t$
$b^2-4ac = 0$
此时$omega$为重根
差分方程的齐次解为:
$y_h(t) = (A_1n+A_2)omega^t$
$b^2-4ac <0$
此时$omega$分别为两个共轭复数
$omega = -frac{b}{2a} pm frac{sqrt{b^2-4ac}}{2a} = hpm iv$
即有:
$left{egin{matrix}
h &= &-frac{b}{2a} \
v &= &frac{sqrt{4ac-b^2}}{2a}
end{matrix}
ight.$
差分方程的齐次解为:
$y_h(t) = A_1(h+iv)^t + A_2(h-iv)^t$
该共轭的根还可以从极坐标方面进行讨论
$hpm iv = R(cos heta pm isin heta)$
其中
$R = sqrt{h^2+v^2} = sqrt{left| frac{c}{a} ight|}$
即R是一个固定的实数。
差分方程的齐次解为
$egin{align*}
y_h(t)
&= A_1R^t(cos heta + isin heta)^t + A_2R^t(cos heta-isin heta)^t \
&= A_1R^t(cos heta t+isin heta t)+A_2R^t(cos heta t-isin heta t) qquad de Moivre's theorem\
&=left|frac{c}{a}
ight|^{frac{t}{2}}(A_1(cos heta t+isin heta t)+A_2(cos heta t-isin heta t)) \
&=left|frac{c}{a}
ight|^{frac{t}{2}}(B_1cos heta t+B_2sin heta t) qquad left{egin{matrix}
B_1 &= A_1+A_2\
B_2 &= (A_1-A_2)i
end{matrix}
ight.
end{align*}$