x射线晶体照像术
1) x射线是1895年由伦琴（Roentgen）发现的，其波长为$10^{-8}$厘米左右，常用的测量可见光波长的方法会由于其波长太小而无法测量。
2) 晶体（Crystals），晶体的原子结构符合一定规律——原子有序地排列成晶格。劳厄（Laue）在1912年做了一系列著名实验，其目的是利用x射线进行衍射实验来研究晶体的本质。
劳尔假设：
1) x射线是波，因此可以进行衍射
2) 晶体可以充当合适的衍射光栅，即晶体具有晶格原子（lattice atomic）——周期性的原子结构，原子间距可以和x射线的波长相比拟
在一维情况下，一维的晶体是由原子等间距排列形成的一条直线。
该直线无限延长，直线上有无数个原子，实验需要研究的是晶体的电子密度分布——可理解为该晶体的x射线透过率。整个晶体的电子密度就是单个原子电子密度的周期排列形式。单个原子的密度记为$ ho$，将其周期化
整个一维晶体的原子密度为：
$egin{align*}
ho_p(x)
&=sum_{k=-infty}^{infty}
ho(x-kp)\
&=sum_{k=-infty}^{infty}
ho(x)*delta(x-kp) qquad (shift property of delta)\
&=
ho(x)*sum_{-infty}^{infty}delta(x-kp)
end{align*}$
根据我们上节课的结论，衍射条纹应该是有该式子的傅里叶变换$mathcal{F} ho_p$所决定的
新符号$Ш$（shah）
我们引入新符号$Ш$，令
$Ш_p(x) = displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty}delta(x-kp) }$
由于符号$Ш$与等间距的脉冲符号相似，因此引入这个符号，$Ш_p(x)$代表了无穷多个$delta$，各个$delta$的间距为$p$
因此
$ ho_p(x)= ho(x)*Ш_p(x)$
$mathcal{F} ho_p=mathcal{F}( ho(x)*Ш_p(x)) = (mathcal{F} ho)(mathcal{F}Ш_p)$
式子中，$ ho$是由晶体性质确定的，我们需要研究的对象是$Ш_p$。那么，$Ш_p$是否有意义呢？
我们知道$delta$作为分布式有意义的，$<delta,varphi>$代表了从$0$点处取测试函数的值$varphi(0)$，那么$<Ш_p,varphi>$则代表在各个时移$delta$处取值。
当$p=1$时
$<Ш,varphi> = displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty}varphi(k)}$
由于$varphi$为速降函数，因此$displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty}varphi(k)}$是收敛的，即$<Ш,varphi>$有意义，那么$<mathcal{F}Ш,varphi>$也是有意义的。
$<mathcal{F}Ш,varphi> = <Ш,mathcal{F}varphi> = displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty}mathcal{F}varphi(k)}$
按照以往的求解方法我们可以写成
$mathcal{F}Ш = displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty} mathcal{F}delta_k = sum_{k=-infty}^{infty}e^{-2pi ikx} }$
但是这种形式，还不是我们最终要求的值，我们需要引入其他方法求解。
泊松求和公式（The Poisson Sum Formula）
注：由于课程内的泊松求和公式的推导有些不明了的地方，因此我们这里采用的是wiki上的推导方式
$Ш$是周期为$1$的脉冲函数，即有
$Ш(t) = displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty}delta(t-k)}$
把$Ш$分解为傅里叶级数的形式
$egin{align*}
Ш(t)
& = sum_{k=-infty}^{infty}C_ke^{2pi ikt}\
& = sum_{k=-infty}^{infty}left(int_0^1Ш(t)e^{-2pi ikt}dt
ight )e^{2pi ikt}\
& = sum_{k=-infty}^{infty} left( int_{0}^1 delta(t)e^{-2pi ikt}dt
ight )e^{2pi ikt}\
& = sum_{k=-infty}^{infty}e^{-2pi i0t}e^{2pi ikt}\
& = sum_{k=-infty}^{infty}1cdot e^{2pi ikt}\
& = sum_{k=-infty}^{infty}e^{2pi ikt}
end{align*}$
因此
$displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty}e^{2pi ikt} = sum_{k=-infty}^{infty}delta(t-k)}$
根据这个条件，我们进行以下推导
$egin{align*}
sum_{k=-infty}^{infty}mathcal{F}f(k)
&=sum_{k=-infty}^{infty}left(int_{-infty}^{infty}f(x)e^{-2pi ikx}dx
ight )\
&=int_{-infty}^{infty}f(x)left(sum_{k=-infty}^{infty}e^{-2pi ikx}
ight )dx\
&=int_{-infty}^{infty}f(x)left(sum_{k=-infty}^{infty}e^{2pi ikx}
ight )dx \
&=int_{-infty}^{infty}f(x)left(sum_{k=-infty}^{infty}delta(x-k)
ight )dx\
&=sum_{k=-infty}^{infty}left(int_{-infty}^{infty}f(x)delta(x-k)dx
ight )\
&=sum_{k=-infty}^{infty}f(k)
end{align*}$
即
$displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty}mathcal{F}f(k) = sum_{k=-infty}^{infty}f(k) }$
这个等式就是泊松求和公式
$Ш$的傅里叶变换
根据泊松求和公式，$mathcal{F}Ш$求解过程如下
$egin{align*}
<mathcal{F}Ш,varphi>
&=<Ш,mathcal{F}varphi>\
&=sum_{k=-infty}^{infty}mathcal{F}varphi(k)\
&=sum_{k=-infty}^{infty}varphi(k) qquad (The Poisson Sum Formula)\
&=<Ш,varphi>
end{align*}$
因此，
$mathcal{F}Ш = Ш$
$Ш_p$的傅里叶变换
首先把$Ш_p$转换成$Ш$的形式
$egin{align*}
Ш_p
&=sum_{k=-infty}^{infty}delta(x-kp)\
&=sum_{k=-infty}^{infty}delta(p(frac{x}{p}-k)\
&=sum_{k=-infty}^{infty}frac{1}{p}delta(frac{x}{p}-k) qquad(delta scaling property)\
&=frac{1}{p}sum_{k=-infty}^{infty}delta(frac{x}{p}-k)\
&=frac{1}{p}Ш(frac{x}{p})
end{align*}$
对$Ш_p$进行傅里叶变换
$egin{align*}
mathcal{F}Ш_p
&=frac{1}{p}mathcal{F}(Ш(frac{x}{p}))\
&=frac{1}{p}cdot p(mathcal{F}Ш)(px) qquad (Fourier Scaling Theorem)\
&=Ш(px)\
&=sum_{k=-infty}^{infty}delta(px-k)\
&=frac{1}{p}sum_{k=-infty}^{infty}delta(x-frac{k}{p})\
&=frac{1}{p}Ш_{frac{1}{p}}
end{align*}$
因此
$mathcal{F}Ш_p = frac{1}{p}Ш_{frac{1}{p}}$
晶体成像
我们前面已经知道一维晶体的原子密度为
$ ho_p(x) = displaystyle{ ho(x)*sum_{-infty}^{infty}delta(x-kp) = ho(x)* Ш_p}$
晶体的成像依赖于它的原子密度的傅里叶变换
$egin{align*}
mathcal{F}
ho_p
&=mathcal{F}(
ho*Ш_p)\
&=mathcal{F}(
ho)mathcal{F}(Ш_p)\
&=mathcal{F}(
ho)(frac{1}{p}Ш_{frac{1}{p}})\
&=mathcal{F}
ho(x)left(frac{1}{p}sum_{k=-infty}^{infty}delta(x-frac{k}{p})
ight )\
&=frac{1}{p}sum_{k=-infty}^{infty}mathcal{F}
ho(x)delta(x-frac{k}{p})\
&=frac{1}{p}sum_{k=-infty}^{infty}mathcal{F}
ho(frac{k}{p})delta(x-frac{k}{p}) qquad (delta sampling property)
end{align*}$
我们能看到的成像为$mathcal{F} ho$在间距为$frac{1}{p}$上的各个点的采样
晶体的原子间距为$p$，而它的成像后的间距为$frac{1}{p}$，因此晶体的衍射成像间距和晶体的原子间距呈倒数关系。