[傅里叶变换及其应用学习笔记] 十一. 纠错，一些补充

这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。

传统傅里叶变换所存在的问题

我们把我们前面所学习的傅里叶变换称为传统傅里叶变换。按照我们原来的理论，只有函数的积分收敛了，它才能进行傅里叶变换。如此一来，对于常规的$sin$，$cos$，常数函数等则无法进行傅里叶变换，因此，我们需要一个更鲁棒的傅里叶变换，使之能处理这些常规函数。

原本的傅里叶变换之所以无法应用到这些常规函数，问题的关键在于积分的收敛性。

传统的傅里叶变换主要有两个问题：

1. 傅里叶变换基于积分的收敛

2. 傅里叶逆变换必须可行，否则尽管傅里叶正变换被执行了也毫无意义

问题例子1

$f(t) = Pi(t)$

$egin{align*}
&mathcal{F}Pi = sinc  & mathcal{F}Pi = int_{-infty}^{infty}e^{-2pi ist}ds \
&mathcal{F}^{-1}sinc = mathcal{F}^{-1}mathcal{F}Pi = Pi & mathcal{F}^{-1}sinc = int_{-infty}^{infty}e^{2pi ist}frac{sinpi s}{pi s}ds \
&mathcal{F}sinc = mathcal{F}mathcal{F}Pi = Pi^{-} = Pi & mathcal{F}sinc = displaystyle{int_{-infty}^{infty}e^{-2pi ist}frac{sin pi s}{pi s}ds }
end{align*}$

在左方的式子中，我们能很轻松地运用傅里叶的逆变换、对偶等定理得到结果，但是在实际应用中我们对信号进行傅里叶转换并处理后，通常需要像右方的式子进行计算后去获得原始的信号，而右方的第二三个式子的积分求法是非常困难的。另外，在计算的时候还必须面对一些函数的收敛性问题——由于$Pi$函数是跳跃的，最终积分运算得到的$Pi$会在跳变点$pm frac{1}{2}$处取值为$frac{1}{2}(0+1)$，尽管我们能处理这种情况。

结论就是，对于最简单的$Pi$函数都出现了这样的问题，需要用特殊的技巧、进行特殊的讨论，这使得我们对传统的傅里叶变换的适用性产生了怀疑。

问题例子2

$egin{align*}
&f(t) = 1 & mathcal{F}f(t) = displaystyle{int_{-infty}^{infty}e^{-2pi ist}dt } \
&f(t) = sin2pi t & qquad mathcal{F}f(t) = displaystyle{int_{-infty}^{infty}e^{-2pi ist}sin2pi t dt } \
&f(t) = cos2pi t & qquad mathcal{F}f(t) = displaystyle{int_{-infty}^{infty}e^{-2pi ist}cos2pi t dt }
end{align*}$

对于这些不收敛的函数的积分是无意义的。

处理这些问题的方法

有两种方法可以处理这些问题：

1. 针对特殊函数进行特殊的研究

2. 从基础重新研究傅里叶变换，得到一个更鲁棒的、能适用各种函数的新傅里叶变换的定义

在1940年代以前，各种数学家、科学家们都是采用第一种方法，对各种各样的函数进行研究。40年代以后，科学家们开始采用第二种方法，这种方法发展至今已经相当成熟，我们从这里开始研究第二种方法，探究新的傅里叶变换的定义。

傅里叶变换的最佳函数

首先找出最适合进行傅里叶变换的函数，这类函数被称为$S$（Schwartz定义了这类函数）。$S$需要满足两个前提条件

1. 如果$f(t) in S$，那么$mathcal{F}f in S$

2. 如果$f(t) in S$，$f(t)$能进行傅里叶正逆变换的积分计算，$mathcal{F}mathcal{F}^{-1}f = f$，$mathcal{F}^{-1}mathcal{F}f = f$

条件一，排除了$Pi$函数，因为我们能通过积分得到$Pi$函数的傅里叶变换为$sinc$函数，而无法通过积分得到$sinc$的逆傅里叶变换。

条件二，排除了$sin,cos$常数函数，因为他们的傅里叶变换没有被定义，无法执行积分计算。

速降函数（Rapidly Decreasing Functions）

$S$（Schwartz）作为最适合进行傅里叶变换的函数，也被叫做速降函数，设有速降函数$f(x) in S$它的定义如下

1. $f(x)$是无限可微的（光滑函数）

2. 对于任何$m,n geqslant 0$，都有$displaystyle{ lim_{x o pm infty} |x|^nleft| frac{partial^m}{partial x^m} f(x) ight| = 0 }$

即$f(x)$的任意阶导趋于$0$的速度都比$x$的的任意次方上升速度快。这些定义是由傅里叶的导数定理（derivative theorem）引申出来的。相关推导如下：

Decay $Rightarrow$ Smoothness

在传统傅里叶变换中我们经常假设$|f(x)|$是可积分的（integrable），现在我们更大胆点去假设$|xf(x)|$是可积的，即

$displaystyle{int_{-infty}^{infty}|xf(x)|dx < infty }$

那么$xf(x)$傅里叶变换是有意义的，那么$-2pi ixf(x)$也能进行傅里叶变换

$egin{align*}
mathcal{F}(-2pi ixf(x))
&= int_{-infty}^{infty}(-2pi ix)e^{-2pi isx}f(x)dx \
&= int_{-infty}^{infty}left( frac{partial}{partial s}e^{-2pi isx} ight)f(x)dx \
&= frac{partial}{partial s}int_{-infty}^{infty}e^{-2pi isx}f(x)dx \
&= frac{partial}{partial s}(mathcal{F}f)(s)
end{align*}$

在$|xf(x)|$可积的这个前提下，我们算出了$mathcal{F}f(s)$是可微的（即连续的），它微分后得$mathcal{F}(-2pi ixf(x))$。

更深入探讨一下傅里叶变换的二阶微分，假设$|x^2f(x)|$是可积分的，得

$egin{align*}
mathcal{F}((-2pi ix)^2f(x))
&= int_{-infty}^{infty}(-2pi ix)^2e^{-2pi isx}f(x)dx \
&= int_{-infty}^{infty}left( frac{partial^2}{partial^2 s}e^{-2pi isx} ight)f(x)dx \
&= frac{partial^2}{partial^2 s}int_{-infty}^{infty}e^{-2pi isx}f(x)dx \
&= frac{partial^2}{partial^2 s}(mathcal{F}f)(s)
end{align*}$

以此类推，$|x^nf(x)|$可积则代表了$mathcal{F}f(s)$为$n$阶可微。$|x^nf(x)|$的可积表示了其积分的值为固定值，因此$f(x)$会衰减，其衰减速率类似于$frac{1}{s^n}$，随着$n$的增大，$f(x)$衰减的速度会越来越快，其傅里叶变换$mathcal{F}f(s)$会变得更光滑，那么我们在此可以得到结论：

• $f(x)$衰减越快，其傅里叶变换$mathcal{F}f(s)$则越光滑。

Smoothness $Rightarrow$ Decay

采用与上面的推导过程不同的方法，这里首先假设$f(x)$是可微的，它的导数$f'$是可积的，并且有$displaystyle{ lim_{x o pminfty}f(x) = 0 }$，则

$egin{align*}
mathcal{F}(s)
&= int_{-infty}^{infty}e^{-2pi isx}f(x)dx \
&= left[ f(x)frac{e^{-2pi isx}}{-2pi is} ight]_{x=-infty}^{x=infty} - int_{-infty}^{infty}frac{e^{-2pi isx}}{-2pi is}f'(x)dx \
&= frac{1}{2pi is}int_{-infty}^{infty}e^{-2pi isx}f'(x)dx qquad lim_{x opminfty}f(x)=0 Rightarrow left[ f(x)frac{e^{-2pi isx}}{-2pi is} ight]_{x=-infty}^{x=infty}=0 \
&= frac{1}{2 pi is}(mathcal{F}f')(s)
end{align*}$

取绝对值，有

$egin{align*}
|mathcal{F}f(s)|
&= left|frac{1}{2pi is}(mathcal{F}f')(s) ight| \
&= displaystyle{frac{1}{2 pi s}left| int_{-infty}^{infty}e^{-2pi isx}f'(x)dx ight| }\
&leqslant frac{1}{2pi s} int_{-infty}^{infty}|e^{-2pi isx}||f'(x)|dx \
&= frac{1}{2pi s}int_{-infty}^{infty}|f'(x)|dx \
&= frac{1}{2pi s}left | f' ight |_1
end{align*}$

$left | f' ight |_1$表示了对$f'$的绝对值进行积分，这个叫做$L_1-norm$。由于$f'$是可积的，因此其积分为固定值，这意味着$mathcal{F}f$趋于$0$的速度类似于$frac{1}{s}$。

进一步假设$f(x)$是二阶可微，并且其一阶积分$f'$、二阶微分$f''$可积，另外还满足$displaystyle{ lim_{x o pminfty}f(x) = 0}$，$displaystyle{lim_{x opminfty}f'(x)=0 }$。

则有，

$egin{align*}
mathcal{F}f(s)
&= int_{-infty}^{infty}e^{-2pi isx}f(x)dx \
&= frac{1}{2pi is}int_{-infty}^{infty}e^{-2pi isx}f'(x)dx qquad (picking up on where we were before)\
&=frac{1}{2pi is} left( left[f'(x)frac{e^{-2pi isx}}{-2pi is} ight]_{x=-infty}^{x=infty} - int_{-infty}^{infty}frac{e^{-2pi isx}}{-2pi is} f''(x)dx ight )\
&=frac{1}{(2pi is)^2}int_{-infty}^{infty}e^{-2pi isx}f''(x)dx qquad(lim_{x opminfty}f'(x)=0 Rightarrow left[f'(x)frac{e^{-2pi isx}}{-2pi is} ight]_{x=-infty}^{x=infty}=0)\
&=frac{1}{(2pi is)^2}(mathcal{F}f'')(s)
end{align*}$

因此，

$|mathcal{F}f(s)| leqslant frac{1}{|2pi s|^2}left| f'' ight|_1$

由于$f''$是可积的，因此其积分为固定值，这意味着$mathcal{F}f$趋于$0$的速度类似于$frac{1}{s^2}$。那么我们可以得出结论：

• $f(x)$越光滑，而且在这基础上其微分都可积，其傅里叶变换$mathcal{F}f(s)$衰减得越快

速降函数

把得到的这两个结论结合起来，即

$f(x)$ 的衰减速率及光滑度将会影响其傅里叶变换$mathcal{F}f(s)$的光滑度与衰减速率。因此最简单有效结合这些现象的方式就是允许$f(x)$能以任意速率进行衰减，能有任意阶的光滑度：

$|x^mfrac{partial^n}{partial x^n}f(x)| leqslant C_{mn}$

$m,n$的取值为任意非负整数。$C_{mn}$为常数，有了这个常数才能从式子中体现出$f(x)$衰减，即式子有上界$C_{mn}$。这个式子也等同于

$|x^mfrac{partial^n}{partial x^n}f(x)| o 0 quad as quad x o pminfty$

在x轴两端趋于$0$。

速降函数的正逆傅里叶变换仍是速降函数

证明过程如下：

对于任意阶可微以及任意阶可衰减的速降函数来说，由前面衰减与光滑度的推论已经可以得到下面的等式，

$egin{align*}
(2pi is)^nmathcal{F}f(s) &= left( mathcal{F}frac{partial^n}{partial x^n}f ight )(s) \
frac{partial^n}{partial s^n}mathcal{F}f(s) &= mathcal{F}left( (-2pi ix)^n f(x) ight)
end{align*}$

把两个等式合并起来

$egin{align*} mathcal{F}left(frac{partial^n}{partial x^n}((-2pi ix)^mf(x)) ight ) &=(2pi is)^nfrac{partial^m}{partial s^m}mathcal{F}f(s) \
(-2pi i)^mmathcal{F}left(frac{partial^n}{partial x^n}(x^mf(x)) ight ) &= (2pi is)^nfrac{partial^m}{partial s^m}mathcal{F}f(s) \
|(-2pi i)^m|left| mathcal{F}left(frac{partial^n}{partial x^n}(x^mf(x)) ight ) ight| &= |(2pi is)^n|left|frac{partial^m}{partial s^m}mathcal{F}f(s) ight| \
(2pi)^{m-n}left| mathcal{F}left(frac{partial^n}{partial x^n}(x^mf(x)) ight ) ight| &= |s|^n
left|frac{partial^m}{partial s^m}mathcal{F}f(s) ight|
end{align*}$

把$left| mathcal{F}left(frac{partial^n}{partial x^n}(x^mf(x)) ight ) ight|$转换为$L_1-norm$的形式，则有

$left|s^nfrac{partial^m}{partial s^m}mathcal{F}f(s) ight| leqslant (2pi)^{m-n}left| frac{partial^n}{partial x^n}(x^mf(x)) ight|_1$

由于$f(x)$为速降函数，因此上边等式的右边得到的值为有限值，记为$C_{mn}$，因此有

$left|s^nfrac{partial^m}{partial s^m}mathcal{F}f(s) ight| leqslant C_{mn}$

因此得结论

$mathcal{F}f(s) in S quad as quad f(x) in S$

 

逆傅里叶变换与正傅里叶变换只在$e$的复指数上相差一个$-$号，因此同理也能证明

 $mathcal{F}^{-1}f(x) in S quad as quad f(s) in S$

Parserval等式

$displaystyle{int_{-infty}^{infty}|mathcal{F}f(s)|^2ds = int_{-infty}^{infty}|f(x)|^2dx }$

该等式表明信号在时域与频域的能量相等。其一般形式为：

设有$f(x),g(x) in S$，则

$displaystyle{int_{-infty}^{infty}mathcal{F}f(s)ar{mathcal{F}g(s)}2ds = int_{-infty}^{infty}f(x)ar{g(x)}dx }$

推导过程如下：

$g(x) = displaystyle{int_{-infty}^{infty}e^{2pi isx}mathcal{F}g(s)ds }$

$ ightarrow quad ar{g(x)} = displaystyle{int_{-infty}^{infty}e^{-2pi isx}ar{mathcal{F}g(s)}ds}$

则，

$egin{align*}
int_{-infty}^{infty}f(x)ar{g(x)}dx
&= int_{-infty}^{infty}f(x)left( int_{-infty}^{infty}e^{-2pi isx}ar{mathcal{F}g(s)ds} ight)dx \
&= int_{-infty}^{infty}left( int_{-infty}^{infty}f(x)e^{-2pi isx}dx ight )ar{mathcal{F}g(s)}ds \
&= int_{-infty}^{infty}mathcal{F}f(s)ar{mathcal{F}g(s)}ds
end{align*}$

同理，由于$|e^{2pi isx}| = 1$，因此

$displaystyle{int_{-infty}^{infty}|mathcal{F}f(s)|^2 ds = int_{-infty}^{infty}|f(x)|^2 dx }$