这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。
傅里叶变换没有统一的定义
符号
傅里叶变换的符号在不同的书籍可能有不同的写法：
如正变换的符号：$mathcal{F} f(s)$，$hat{f}(s)$，$F(s)$
如反变换的符号：$mathcal{F}^{-1}f(t)$，$check{f}(t)$，$f(t)$
公式
傅里叶变换的公式也没有统一的写法：
本课程采用的是如下公式
$mathcal{F} f(s) = displaystyle{int_{-infty}^{infty}e^{-2pi ist}f(t)dt }$
另外有些书本的写法是
$mathcal{F} f(s) = displaystyle{int_{-infty}^{infty}e^{-ist}f(t)dt }$
这是由于采用不同的周期而导致的，但是尽管写法不同，但表示的都是同样的意思。
高斯（Gaussian）函数的傅里叶变换
高斯函数的归一化（积分为1）式子如下：
$f(t) = e^{-pi t^2}$
高斯函数图像如下：
对高斯函数进行积分过程如下：
由于高斯函数的变量$t$是在幂的位置上，而且是二次方，因此无法直接用$dt$对其进行积分计算。下面采用极坐标方法
$egin{align*}
left(displaystyle{int_{-infty}^{infty}e^{-pi t^2}dt}
ight)^2
&=displaystyle{int_{-infty}^{infty}e^{-pi x^2}dx imes int_{-infty}^{infty}e^{-pi y^2}dy}\
&=displaystyle{iint_{-infty}^{infty}e^{-pi(x^2+y^2)}dxdy}\
&=int_0^{2pi}int_{0}^{infty}e^{-pi r^2}rdrd heta\
&=2piint_{0}^{infty}e^{-pi r^2}rdr\
&=2piint_{0}^{infty}e^{-pi r^2}d(frac{1}{2}r^2)\
&=frac{2pi}{pi} imesfrac{1}{2}int_0^{infty}e^{-pi r^2}dpi r^2\
&=int_0^{infty}e^{-s}ds\
&=left. -e^{-s}
ight|_0^{infty}\
&=0-(-1)\
&=1
end{align*}$
那么该高斯函数的积分为
$displaystyle{int_{-infty}^{infty}e^{-pi t^2}dt = sqrt{1} = 1 }$
下面对高斯函数进行傅里叶变换
$egin{align*}
F(s)=mathcal{F} f(s)
&=int_{-infty}^{infty}e^{-2pi ist}e^{-pi t^2}dt
end{align*}$
这也是一个非常难以积分的项，我们需要采用其他巧妙的方法：微分
$egin{align*}
F'(s)=mathcal{F} f'(s)
&=int_{-infty}^{infty}frac{d(e^{-2pi ist})}{ds}e^{-pi t^2}dt\
&=int_{-infty}^{infty}-2pi ite^{-2pi ist}e^{-pi t^2}dt\
&=iint_{-infty}^{infty}e^{-2pi ist}(-2pi te^{-pi t^2})dt\
&=ileft(left. e^{-2pi ist}e^{-pi t^2}
ight|_{-infty}^{infty}-int_{-infty}^{infty}e^{-pi t^2}(-2pi ise^{-2pi ist})dt
ight)\
&=-2pi sint_{-infty}^{infty}e^{-2pi ist}e^{-pi t^2}dtqquad eliminate left. e^{-2pi ist}e^{-pi t^2}
ight|_{-infty}^{infty} because |e^{-2pi ist}|=1,lim_{t oinfty}e^{-pi t^2}=0\
&=-2pi sF(s)
end{align*}$
求偏微分方程，得
$F(s) = F(0)e^{-pi s^2} = displaystyle{int_{-infty}^{infty}e^{-pi t^2}dt imes e^{-pi s^2} } = e^{-pi s^2}$
也就是说归化为1的高斯函数的傅里叶变换还是归化为1的高斯函数
反转信号（reverse signal）
这是一个新的定义，目的是为了方便式子的表达，定义如下
令$f^{-}(t) = f(-t)$
$f^{-}(t)$即为$f(t)$的反转
傅里叶变换的对偶性（Fourier Transform Duality）
回顾一下傅里叶变换：
$F(s) = mathcal{F} f(s) = displaystyle{int_{-infty}^{infty}e^{-2pi ist}f(t)dt }$
当取值为$-s$时，
$F(-s) = mathcal{F} f(-s) = displaystyle{int_{-infty}^{infty}e^{2pi ist}f(t)dt } = mathcal{F}^{-1}f(s)$
一般来说，$f(t)$是时域，$F(s)$是频域，$f(t)$通过傅里叶变换得到$F(s)$，$F(s)$通过逆变换得到$f(t)$。不过上面的式子是对$f(t)$进行傅里叶逆变换，在这里，我们并不需要分析这个等式所表示的含义，而是把傅里叶变换当作工具使用。
对偶定理1
把反转信号引入傅里叶变换的对偶性中，得$mathcal{F} f(-s) = (mathcal{F} f)^{-}(s)$，而且上面对偶性讨论已得出结论：$mathcal{F} f(-s) = mathcal{F}^{-1}f(s)$，即有
$(mathcal{F} f)^{-}(s) = mathcal{F}^{-1}f(s)$
$(mathcal{F} f)^{-} = mathcal{F}^{-}f$
函数的傅里叶变换的反转等于对该函数进行傅里叶逆变换。
对偶定理2
如果对$f^{-}(t)$进行傅里叶变换会得到什么结果呢？
$egin{align*}
mathcal{F}(f^{-}(s))
&= int_{-infty}^{infty}e^{-2pi ist}f(-t)dt\
&= int_{+infty}^{-infty}e^{-2pi is(-u)}f(u)d(-u) qquad let u=-t\
&= int_{-infty}^{infty}e^{2pi isu}f(u)du\
&= mathcal{F}^{-1}f(s)
end{align*}$
即，
$mathcal{F}(f^{-}) = mathcal{F}^{-}f$
函数的反转的傅里叶变换等于对该函数进行傅里叶逆变换。
对偶定理3
把对偶定理1与对偶定理2结合起来，得
$(mathcal{F} f)^{-} = mathcal{F}(f^{-})$
函数的傅里叶变换的反转等于对该函数反转的傅里叶变换
对偶定理4
对函数进行两次傅里叶变换
$mathcal{F}mathcal{F} f = mathcal{F}(mathcal{F} f) = mathcal{F} (mathcal{F}^{-}(f^{-})) = f^{-}$
函数连续进行两次傅里叶变换等于该函数的反转。
对偶定理的应用
对偶定理的目的是为了方便计算，如：
求$sinc$函数的傅里叶变换。
$sinc = frac{sin pi s}{pi s}$
由上一节课我们知道$pi$函数经过傅里叶变换后得到$sinc$函数，那么我们就运用傅里叶变换的对偶定理能进行如下计算
$mathcal{F} sinc = mathcal{F}mathcal{F} pi = pi^{-} = pi$