这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。
这节课目的
如何用像$sin$，$cos$这些简单的函数来表示复杂周期函数。
信号周期化
并不是所有现象都是周期性的，而且即使是周期性的现象（时间周期性），最终都会终结。而$sin$，$cos$这些数学函数是无始无终的，那么我们该怎么做？
我们采用了一种叫信号周期化的方法：
设有如下信号（左）
我们可以把它无限复制，这样就成了一个周期信号，然后研究我们感兴趣的部分（单一周期内的信号）。
由于有了信号周期化这种做法，我们的傅里叶研究将相当广泛。
设定周期
为了方便我们后面的学习，在此设定周期为1，后面的学习会遵循该设定，即
$f(t+1) = f(t)$
因此信号模型为$sin(2pi t)$与$cos(2pi t)$。
结论
首先引出结论，周期为1的信号，可以由$sin(2pi t)$或$cos(2pi t)$组成
一个周期，多个频率
举个例子
下图分别为$sin(2pi t)$，$sin(4pi t)$，$sin(6 pi t)$的图形
$sin(2pi t)$的周期是1，频率是1。
$sin(4pi t)$的周期是1/2，频率是2，但是1也可以是它的周期。
$sin(6pi t)$的周期是1/3，频率是3，但是1也可以是它的周期。
把他们组合起来(相加)得到$sin(2pi t)+sin(4 pi t)+sin(6pi t)$，图形如下
这个复杂的图形的周期还是1，它是由周期为1，频率不同的sin函数组成的。
上面的例子只是不同频率的组合，我们还可以改变他们的振幅，相位。这表明我们通过$sin$已经可以组成非常多的信号
$displaystyle{sum^n_{k=1}}A_k sin(2pi kt+varphi_k)$
注：k=1的项被称为基波（fundamental wave），k>1的项被称为谐波（harmonic）
公式推导
对sin进行分解
$sin(2pi kt + varphi_k)=sin(2pi kt)cosvarphi_k+cos(2pi kt)sinvarphi_k$
因此有
$egin{align*}
&quad sum^n_{k=1}A_ksin(2pi kt + varphi_k)\
&=sum^n_{k=1}A_ksin(2pi kt)cosvarphi_k+cos(2pi kt)sinvarphi_k\
&=sum^n_{k=1}(a_kcos(2pi kt)+b_ksin(2pi kt))
end{align*}$
$a_k,b_k$与相位$varphi_k$和振幅$A_k$有关。
另外，我们还可以添加一个常量来表示其中不变的部分：
$frac{a_0}{2}+displaystyle{sum^n_{k=1}}(a_kcos(2pi kt)+b_ksin(2pi kt))$
该常量$frac{a_0}{2}$被称为直流分量（DC component）。
复指数式
上面的式子还可以推导成复指数的方式
有如下欧拉公式：
$e^{2pi ikt} = cos(2pi kt)+isin(2pi kt), i=sqrt{-1}$
$cos(2pi kt) = frac{e^{2pi ikt} + e^{-2pi ikt}}{2}$
$sin(2pi kt) = frac{e^{2pi ikt} - e^{-2pi ikt}}{2i}$
通过欧拉公式对上述式子进行展开，得
$egin{align*}
&quad a_kcos(2pi kt)+b_ksin(2pi kt)\
&= frac{a_ke^{2pi ikt}+a_ke^{-2pi ikt}}{2}+frac{b_ke^{2pi ikt}-b_ke^{-2pi ikt}}{2i}\
&= frac{a_ke^{2pi ikt}+a_ke^{-2pi ikt}}{2}+frac{-b_kie^{2pi ikt}+b_kie^{-2pi ikt}}{2}\
&= frac{a_k-b_ki}{2}e^{2pi ikt}+frac{a_k+b_ki}{2}e^{-2pi ikt}
end{align*}$
分成$frac{a_k-b_ki}{2}e^{2pi ikt}$与$frac{a_k+b_ki}{2}e^{-2pi ikt}$两部分。按照我们前面的推论，$k$作为调整频率的系数，是一个正整数，现在如果我们把复指数上的符号移动到$k$上，$k$就称为了覆盖正负的整数，那么上面的式子就变成
$egin{align*}
a_kcos(2pi kt)+b_ksin(2pi kt)
&= underbrace{frac{a_k-b_ki}{2}e^{2pi ikt}+frac{a_k+b_ki}{2}e^{-2pi ikt}}_{k>0}\
&= underbrace{frac{a_k-b_ki}{2}e^{2pi ikt}}_{k>0}+underbrace{frac{a_{-k}+b_{-k}i}{2}e^{2pi ikt}}_{k<0}
end{align*}$
把$frac{a_k-b_ki}{2}$和$frac{a_{-k}+b_{-k}i}{2}$取出来用$C_k$表示，则有，
$C_k=
egin{cases}
&frac{a_k-b_ki}{2} ext{ , } k>0 \
&frac{a_{-k}+b_{-k}i}{2} ext{ , } k<0
end{cases}$
即$C_k$为复数且满足以下条件，
$C_{-k}=ar{C_k}$
有了上述条件，式子可以写成
$egin{align*}
&quad sum^n_{k=1}(a_kcos(2pi kt)+b_ksin(2pi kt))\
&=sum^n_{k=-n}C_ke^{2pi ikt}
end{align*}$
上述推导引出一个结论：对于一个真实的信号（值为实数），当它转换为上述复数形式时，它的系数对称存在，即有$k$必然会有$-k$，且$C_k$与$C_{-k}$共轭。反过来，如果系数满足上述条件，那么此信号也是真实信号。
通用性
我们已经从sin的组合推导到了复指数之和的形式。那么说回来，这种三角函数的组合形式是否可以用到更大的范围？它是否适用于一般周期函数？
下面，我们假设这个推断是成立的，三角函数之和适用于一般周期函数，则有，
$f(t)=displaystyle{sum^n_{k=-n}}C_ke^{2pi ikt}$
取出该多项式其中的一项$C_me^{2pi imt},-n leqslant m leqslant n$，
$C_me^{2pi imt} = f(t)-displaystyle{sum^n_{k eq m}}C_k e^{2pi ikt}$
等号两边同时乘以$e^{-2pi imt}$，得
$egin{align*}
& C_m = e^{-2pi imt}f(t)-sum^n_{k
eq m}C_k e^{-2pi imt}e^{2pi ikt}\
&quad = e^{-2pi imt}f(t)-sum^n_{k
eq m}C_k e^{2pi i(k-m)t}
end{align*}$
对等号两边同时积分
$displaystyle{int_{0}^{1}}C_mdt=C_m$
$egin{align*}
&quad int_{0}^{1}(e^{-2pi imt}f(t)-sum^n_{k
eq m}C_k e^{2pi i(k-m)t})dt \
&= int_{0}^{1}e^{-2pi imt}f(t)dt - sum^n_{k
eq m}C_kint_{0}^{1} e^{2pi i(k-m)t}dt \
&= int_{0}^{1}e^{-2pi imt}f(t)dt - sum^n_{k
eq m}C_kleft.frac{1}{2pi i(k-m)}e^{2pi i(k-m)t}
ight|^1_0 \
&= int_{0}^{1}e^{-2pi imt}f(t)dt - sum^n_{k
eq m}C_kfrac{1}{2pi i(k-m)}(e^{2pi (k-m)t}-e^0) \
&= int_{0}^{1}e^{-2pi imt}f(t)dt - sum^n_{k
eq m}C_kfrac{1}{2pi i(k-m)}(cos2pi(k-m)+isin2pi(k-m) - 1) quad spread with Euler Formular \
&= int_{0}^{1}e^{-2pi imt}f(t)dt - sum^n_{k
eq m}C_kfrac{1}{2pi i(k-m)}(1+0-1) quad k and m is interger \
&= int_{0}^{1}e^{-2pi imt}f(t)dt
end{align*}$
即，
$C_m = displaystyle{int_{0}^{1}}e^{-2pi imt}f(t)dt$