【初等数论】乘法逆元略解

乘法逆元

(1、)定义：(frac{1}{a} equiv bpmod{p})，则称(b)为(a)在模(p)意义下的乘法逆元，记为(inv(a))或(a^{-1})。

(2、)在模(p)意义下讨论乘法逆元的存在性

​  设(a^{-1} = x)

​  (acdot x equiv 1)

​  (Leftrightarrow a cdot x = 1 - py)

​  (Leftrightarrow a x+py = 1)

​  裴蜀定理告诉我们，该方程当且仅当(gcd(a,p) = 1)时有解。也就是说，当且仅当(a)与模数(p)互质时存在(a)的乘法逆元。因此大部分有理数取模问题给定的模数都是质数，这样能够在(amod p eq 0)的情况下保证存在(a)的逆元。

(3、)乘法逆元的四种推导方式

1. 扩展欧几里得算法

   求(a)的逆元，也就是求出(Leftrightarrow a x+py = 1)的一组解，使用扩展欧几里得算法直接求解得(x)即可。

   void exgcd(int& x, int& y, int a, int b) {
     if (!p) {
       x = 1, y = 0;
       return;
     }
     exgcd(y, x, b, a % b);
     y -= a / b * x;
   }
   

2. 费马小定理/扩展欧拉定理

   费马小定理：对于质数(p)，(a^{p} equiv a pmod{p})

   即 (a^{p-1} equiv 1pmod {p})

   也就是说，(a^{p-2})即为(a mod p)意义下的逆元，使用快速幂求解。

   费马小定理是欧拉定理在(p)为质数时的特殊情况，实现起来没有区别。这里不深入展开叙述欧拉定理。

   LL fpow(LL a, LL p) {
     LL b = p - 2, ret = 1;
     for (; b; b >>= 1) {
       if (b & 1) ret = ret * a % p;
       a = a * a % p;
     }
     return ret;
   }
   

3. 线性递推(1sim n)的逆元

   显然有(1^{-1} = 1).

   设(r = p mod i, k = lfloor frac{p}{i} floor)

   (Rightarrow ki + r equiv 0 pmod p)

   两边同乘(i^{-1}r^{-1})，得

   (kr^{-1} + i^{-1} equiv 0 pmod p)

   (Leftrightarrow i^{-1} = -lfloor frac{p}{i} floor cdot (p mod i)^{-1} pmod p)

   得到如上递推式，解毕。

   void get_inv(int n, int p) {
     inv[1] = 1;
     for (int i = 2; i <= n; ++i)
       f[i] = (LL)(p - p / i) * inv[p%i] % p;//p - p / i：去掉负数
   }
   

4. 线性递推(a_1 sim a_n)的逆元((a_i in N_+))

   以下表达式均在(mod p) 意义下。

   设(f_i = prod_{j = 1}^{i}a_j)

   首先可以线性递推求出(f_{1 sim n})。

   我们发现，对((f_i)^{-1})可推导出如下递推式：

   $ f_i imes (f_{i})^{-1} equiv 1$

   (Rightarrow a_i cdot f_{i-1} cdot (f_i)^{-1} equiv 1)

   即((f_i)^{-1} equiv (f_{i+1})^{-1} imes a_{i+1})

   那么我们可以结合费马小定理/扩展欧几里得算法

   求出((f_n)^{-1})，然后倒着线性迭代求出((f_{1 sim n-1})^{-1})。

   现在我们求出了原数列前缀积数列的逆元，考虑着手由({f}^{-1})数组推导出({a}^{-1})。

   (a_i imes a_i^{-1} equiv 1)

   (Leftrightarrow frac{f_i}{f_{i-1}} cdot a_i^{-1} equiv 1)

   (Leftrightarrow a_i^{-1} equiv frac{f_{i-1}}{f_i})

   即(a_i^{-1} equiv f_{i-1} cdot (f_i)^{-1})。

   得到如上递推式，解毕。

   因此，最后我们再使用费马小定理求出(a_1^{-1})，就可以递推一遍求出原数列各项的逆元了。

   int a[maxn], inv[maxn], V[maxn], f[maxn], n, k, p;
   LL ans;
   int fpow(LL a, LL b) {
   	LL ret = 1;
   	while (b) {
   		if (b & 1) ret = ret * a % p;
   		b >>= 1;
   		a = a * a % p;
   	}
   	return ret;
   }
   void get_inv() {
   	f[0] = 1;
   	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
   		read(a[i]);
   		f[i] = (LL)a[i] * f[i-1] % p;
   	}
   	V[n] = fpow(f[n], p - 2);
   	for (int i = n - 1; i; --i) V[i] = (LL)V[i+1] * (a[i+1]) % p;
   	for (int i = n; i > 1; --i) inv[i] = (LL)f[i-1] * V[i] % p;
   	inv[1] = fpow(a[1], p - 2);
   }