最小树形图（朱刘算法）--学习笔记

树形图的定义：一个有向图，满足从某一点u出发可以遍历全部点，并且图中不存在环（恰有点数-1条边），则称该图为一个树形图，其中u是该图的根。对于一个有向图，如果我们可以在其上生成一个包括原图所有点的树形图T，且满足T的所有边权之和最小，那么T就是原图的一个最小树形图。

　　从定义上很容易联想到无向图的最小生成树。然而克鲁斯卡尔和prim算法都不能适用于有向图的情况；解决最小树形图问题最早的算法是1965年提出的朱刘算法，时间复杂度O(VE)，应用比较广泛。

　　根据笔者的理解，朱刘算法基于一种贪心处理之后产生的三种情况的判定：我们在原图G中找出除根外每个点的最小入边，其权值用in[v]表示。那么，我们考虑原先的点和这些入边组成的新图G'：如果图中不存在环（包括自环），那么G'一定是所求的最小树形图，这是很直观的。而如果有一些点（除根u）找不到入边，那么这个图一定不存在遍历完全的方案。关键在于第三种情况：如果出现了环，我们如何进行下一步处理？

　　假使现在我们遇到了一个由最小入边组成的环c。这个环上有k个点，k条边，由于每个点仅记录了一个入边，这个环与外界不存在由in[v]中的某条边连通的情况。我们现在要做的，就是拆掉这个环上的某一条边in[v]，然后选择一条连接外界与点v的边，使得这个环变成一条树上的链。

　　朱刘算法对这一步给出的选择策略是：我们把原先的环缩成一个点。对于指向新点（假设指向原来环上的点v）的每条边，我们令它的权值减去in[v]；这样，设环上所有边的权为S，in[v] = w，最优选择的那条入边e指向v且e原来的权为cost，则：

　　(S - w) + cost = S + (cost - w)

　　左边表示直观地拆掉in[v]并加上那条入边e的过程，而右边是原环的值加上“按上述做法预处理过后的边权”。这个式子表明，缩点+预处理后的那张新图再次找到生成的图，对其递归地求in[v]并继续按上述三个情况判断处理，最终得到的最小树形图，与原图的最小树形图的权值和是一样的。这便是朱刘算法的核心。因此我们不断地找环、缩点、处理边权，直到满足没有换或发现不存在最小树形图为止。用循环和递归实现都是可以的。

　　对算法复杂度的说明：每次递归都需要跑一遍所有的边来找到in[v]，并且最坏情况下每次缩掉一个大小为2的环（自环在选边的时候就筛掉了，见代码），去掉一个点，则最多执行n-1次缩点就一定能得到结果了。按照更熟悉的记号，实际上复杂度就是O(mn)的。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <climits>
#define maxn 110
#define maxm 10010
#define inf INT_MAX
using namespace std;
int n, m, root;
long long ans;
struct E {
    int u, v, w;
} edge[maxm];
int vis[maxn], pre[maxn], in[maxn], c[maxn];  //pre数组记录前驱为找环服务，c表示某点所在的环编号
void zhu_liu() {
    while (1) {
        memset(in, 127, sizeof(in));
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            int u = edge[i].u, v = edge[i].v, w = edge[i].w;
            if (v != u && w < in[v])
                in[v] = w, pre[v] = u;
        }
        in[root] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            if (in[i] > 2e9) {
                ans = -1; return;
            }
        int cnt = 0;
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        memset(c, 0, sizeof(c));
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            ans += in[i];  //把每条边的权都预先累积下来，不是环的话一会预处理会直接减成0，不影响结果
            int v = i;
            while (v != root && vis[v] != i && !c[v]) {
                vis[v] = i;
                v = pre[v];
            }
            if (v != root && !c[v]) {  //是环
                c[v] = ++cnt;
                for (int u = pre[v]; u != v; u = pre[u])
                    c[u] = cnt;
            }
        }
        if (!cnt) return;  //没有环，找到答案
        for (int i = 1; i <= n; ++i)  //建新图
            if (!c[i]) c[i] = ++cnt;
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            int u = edge[i].u, v = edge[i].v;
            edge[i].u = c[u], edge[i].v = c[v];
            if (c[u] != c[v])
                edge[i].w -= in[v];  //处理入边权
        }
        n = cnt, root = c[root];  //转到新图
    }
}
int main() {
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &root);
    int u, v, w;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
        edge[i] = (E) {u, v, w};
    }
    zhu_liu();
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}

展开缩点成为原图最小树形图的算法还没有学（我估计用不到），就先写到这里。