BZOJ 1013 [JSOI2008]球形空间产生器sphere

这里是题目的传送门

题目的大意是比较好懂的，就是说给你一个(N + 1)个N维空间上的点，让你求这个(N + 1）个点的圆心坐标。

拿到这道题目我首先想到的是模拟退火。。。

为什么？ 不为什么

但是感觉这个正确率可能出现问题，因为这个题并不是求极值，所以只能通过其它的方法来判断是否最优（比如说算标准差什么的，但是这样子真的不太靠谱）

又想到了我之前写过一道模拟退火的题目，调了emmm20次吧，于是就没敢写。

这道题目里有一个性质——即圆心的性质

圆心到每一个点的距离都相同，于是我们可以这样子假设

假设答案为(x1,x2,x3,……,xn),当前这个点为(a1,a2,a3……,an),下一点为(b1,b2,b3……,bn)

我们可以列出方程

(a1 - x1) ^ 2 + (a2 - x2) ^ 2 + (a3 - x3) ^ 2 +……+(an - xn) ^ 2 = (b1 - x1) ^ 2 + (b2 - x2) ^ 2 + ……  + (an - xn) ^ 2

化简可得

2(a1 - b1) x1 + 2 (a2 - b2)x2 + …… +2(an - bn)xn=a1 ^ 2 + a2 ^ 2 +……+an ^ 2 - b1 ^ 2 - b2 ^ 2 - …… - bn ^ 2

我们一共有N + 1个点

所以我们可以列出N个方程

接下来就使用高斯消元

把所有的未知数解出来，由于数据保证有解，所以不会存在自由元

大家可以大胆地去做啦

#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define db double
#define fo(i,x,y) for (int i=x; i<=y; i++)
#define pr(i,x,y) for (int i=x; i>=y; i--)
#define cl(a,x)   memset(a,x,sizeof(a))

using namespace std;

int N;
db Mat[15][15];
db a[15][15];

int main()
{
    scanf("%d",&N);
    cl(Mat,0);
    fo(i,1,N + 1)
    {
        fo(j,1,N)
        {
            scanf("%lf",&a[i][j]);
            if (i != 1)
            {
                Mat[i - 1][j]=2 * (a[i][j] - a[i - 1][j]);
                Mat[i - 1][N + 1]+=a[i][j] * a[i][j] - a[i - 1][j] * a[i - 1][j];
            }
        }
    }
    fo(i,1,N)
    {
        int T=i;
        fo(j,i + 1,N)
        {
            if (fabs(Mat[j][i]) > fabs(Mat[T][i]))
            {
                T=j;
            }
        }
        if (T != i)
        {
            fo(j,1,N + 1)
            {
                swap(Mat[i][j],Mat[T][j]);
            }
        }
        fo(j,i + 1,N)
        {
            db X=Mat[j][i] / Mat[i][i];
            fo(k,i,N + 1)
            {
                Mat[j][k]-=Mat[i][k] * X;
            }
        }
    }
    pr(i,N,1)
    {
        fo(j,i + 1,N)
        {
            Mat[i][N + 1]-=Mat[j][N + 1] * Mat[i][j];
        }
        Mat[i][N + 1]/=Mat[i][i];
    }
    fo(i,1,N - 1)
    {
        printf("%.3f ",Mat[i][N + 1]);
    }
    printf("%.3f
",Mat[N][N + 1]);
    return 0;
}