卡尔曼滤波是一种高效率的递归滤波器(自回归滤波器), 它能够从一系列的不完全包含噪声的测量(英文:measurement)中，估计动态系统的状态，然而简单的卡尔曼滤波必须应用在符合高斯分布的系统中。
百度百科是这样说的，也就是说卡尔曼滤波第一是递归滤波，其次KF用于线性系统。
但经过研究和改进，出现了很多卡尔曼，如EKF（extended kalman filter）扩展卡尔曼，UKF（Unscented Kalman Filter）无迹卡尔曼等等。
而我们就来研究EKF，而EKF的中心思想就是将非线性系统线形化后再做KF处理。
状态方程
当我们从最简单的系统开始，我们假定k时刻的系统状态与k-1时刻有关，于是我们可以得到方程：
其中a为常量，但是当系统内部有噪声，我们称为过程噪声 ，计为w。所以方程可以写成：
而我们实际观测的时候会出现观测噪声，于是我们将观测值计为Z，观测噪声为v，那我们可以把k时刻的观测值与系统状态值写成方程：
于是最简单的系统状态方程就有啦。
卡尔曼滤波算法核心思想在于预测+测量反馈，它由两部分组成，第一部分是 线性系统状态预测方程，第二部分是 线性系统观测方程。
这里系统的预测时候，我们要将通过系统状态方程计算的预测值作为先验信息，之后在观测部分在重新更新这个信息。
回头说状态的预测，我们引入一个符号 ^在相应的变量上表示该变量是预计值。再说一个新概念：新息。一个时间序列{X(t)}里，根据历史数据的预测值，新息是真实值减去预测值。
注：上有波浪线表示新息，也有用字母e表示的；上面尖的是预测值；无标注为真实值
我们给出一个优化过的预测值，新预测值 = 上一轮预测值（先验） + 权重 × 新息，即：
那下一个问题就是权重g是怎么计算得出的呢？答案是间接的从噪声里求得的。当我们将估计协方差叫做p，而传感器的协方差为r，我们通过这两个值计算权重。
既然获得了g，我们下一步将先验信息输入到上面的两个方程中获得后验预测值，也就是我们的输出值。
那整个计算步骤和过程就应该是这样的：
先预测后更新。具体计算过程和曲线生成可以参考levys教程的Part7。
之后我们再说更复杂一点的系统，系统地状态方程引入了输入量U。换句话说有一个U会时刻影响系统状态量。
而观测到的观测值为
那我们新的计算方法就需要引入这两个新的变量，
同样是预测，更新，预测下一时刻，更新的计算方式。
而当系统用矩阵的方式写的状态方程，就需要以矩阵的方式计算。相同的数学公式及计算方法。如P的计算，
又如G，
还有P的更新，
这样的话，我们的系统方程及计算步骤方式如下
需要注意的是我们使用的R是对测量误差v的协方差，当我们在引入一个Q代表过程噪声引起的误差时，可以使系统表现更好，即使Q很小，
那如果系统是非线性的呢？我们如果将观测值Z计做X的非线性函数组成的，我们的模型可以改成。
而我们的中心思想是将其线性化，如果我们使用函数一阶导为C来计算G和P。
最后系统复杂到这样的程度，
那我们就引入雅科比矩阵，雅各比矩阵就是方程矩阵对每一个变量的偏导数。
则在向量分析中，雅可比矩阵Jacobian matrix是该函数的所有分量（ 个）对向量
的所有分量（
个）的一阶偏导数组成的矩阵。
函数有 个分量，于是有
行。向量
有
个分量，于是有
列。
而最终，F为f方程的雅可比，H为h方程的雅可比。最终计算如下：
到这里简单的EKF就已经完成基本介绍啦。
有兴趣的可以去github上看levys的matlab代码，链接在下。
参考资料：
笔记参考：A0402272018
levys教程：
http://home.wlu.edu/~levys/kalman_tutorial/
levys源码:
https://github.com/simondlevy/SensorFusion
卡尔曼滤波(KF)与扩展卡尔曼滤波(EKF)的一种理解思路及相应推导