poj2411 Mondriaan's Dream 题解报告

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【题目大意】

往一个$N*M$的矩阵中放$1*2$的小长方形，可以横着放也可以竖着放，不能重叠，求把大矩阵填满有多少种方案。

【思路分析】

我们对每一行单独分析，对于第$i$行中的第$j$格，可能有一下三种状态：

1.是一个横着放的小长方形的其中一格

2.是竖着放的小长方形的下面一格

3.是竖着放的小长方形的上面一格

对于第1、2种状态可以直接处理，而第3种状态会对下面一行形成影响，即第$i+1$行第$j$格不能放小长方形，这种状态要单独考虑。

我们选择用一个$M$位的二进制数来记录每一行的状态，其中如果第$j$位为1，则表示这是上面的第3种状态；如果为0，则是1、2种状态。

设$f[i][j]$表示第$i$行状态为$j$时，前$i$行的总方案数。

第$i-1$行的状态$k$能转移到第$i$行的状态$j$，当且仅当：

1.$j$和$k$执行按位与运算的结果为0，这保证了$k$中每个数字1下方为0，即第2种状态。

2.$j$和$k$执行按位或运算的结果的二进制表示中，每一段连续的0都必须是偶数个，这些0代表的是若干个横着的小长方形。

我们预处理出$[0,2^M-1]$内所有满足“二进制表示下每一段连续的0都有偶数个”的整数，记录在集合$S$中，则

$$f[i][j]=sum_{j&k=0且j|k in S}f[i-1][k]$$

初始值：$f[0][0]=1$，其余均为0

目标：$f[N][0]$

时间复杂度：$O(4^MN)$

【代码实现】

#include<iostream>
#include<cstring>
#define ll long long
#define rg register
#define go(i,a,b) for(rg int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
int n,m;
ll f[12][1<<11];
bool ready[1<<11];
int main(){
    while(cin>>n>>m&&n){
        go(i,0,(1<<m)-1){//预处理
            bool t=0,k=0;
            go(j,0,m-1)
                if(i>>j&1) k|=t,t=0;
                else t^=1;
            ready[i]=k|t?0:1;
        }
        f[0][0]=1;
        go(i,1,n) go(j,0,(1<<m)-1){
            f[i][j]=0;
            go(k,0,(1<<m)-1)
                if((j&k)==0&&ready[j|k]) f[i][j]+=f[i-1][k];
        }
        cout<<f[n][0]<<endl;
    }
    return 0;
}