Luogu P2158 仪仗队 题解报告

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【题目大意】

给定一个n×n的点方阵，求站在左下角的点能看到的点数

注意同一条直线上只能看到一个点

【思路分析】

因为是一个方阵，所以可以对称地算，那么对于半个方阵，这里假设是左上的半个方阵，能看到的点的个数要满足这样的条件

1.x<y

因为是左上的半个方阵，并且x=y的一直线上的点要额外计算

2.gcd(x,y)即x与y互质

这是为了保证一直线上只能看到一个点

容易发现，在满足条件的情况下，这样的x个数恰好等于φ(y)

还需要注意的一点是，最左边一列，最下面一行，还有x=y这条直线上一共可以看到三个点，所以要额外计算

于是最后的答案Ans=3+2*$sum_{i=2}^{n}varphi[i]$

【代码实现】

#include<bits/stdc++.h>
#define go(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int N=40002;
int v[N],prime[N],phi[N];
int n;
int fr(){
    int w=0,q=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){
        if(ch=='-') q=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
        w=(w<<1)+(w<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return w*q;
}
void work(){
    memset(v,0,sizeof(v));
    int num=0;
    go(i,2,n){
        if(v[i]==0){//如果i没有被标记过,那就是质数
            v[i]=i,prime[++num]=i;
            phi[i]=i-1;//性质2
        }
        go(j,1,num){
            if(prime[j]>v[i]||prime[j]>n/i) break;
            v[i*prime[j]]=prime[j];
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(i%prime[j]?prime[j]-1:prime[j]);
            //性质8和性质9的结合
        }
    }
}
int ans=0;
int main(){
    n=fr();n--;
//这里要注意一下题目的bug,你可以认为输入的是点数但实际上是看格子
    if(n==0) {printf("0
");return 0;}
    work();
    go(i,2,n)
        ans+=phi[i];
    ans*=2;ans+=3;
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}