题目描述
N个点M条边的无向图，每个点有一个初始颜色，每次改变一个点的颜色，求改变后整张图上颜色不同的点之间的距离最小值。
思路
考虑整张图的距离最小值一定是一条边，而不可能是一条路径，那么显然这条边一定在MST上，于是我们考虑怎样维护这棵MST。
- 首先我们用kruskal建出MST，然后转化为有根树，把边权下放为点权，只维护每个点和它儿子的信息。
- 我们对每个节点所有儿子的颜色开一个multiset，维护每个点的儿子中每种颜色对应的最小边权（此时下放为点权），为了节省空间我们用map映射把颜色那维去掉，即$CLS_{u,col}}
- 接着我们再对每个点开一个multiset维护每个点儿子中所有颜色对应的最小边权的最小值（就是上一个multiset维护的东西的最小值）。即$best[u]=min{CLS_{u,c} }_{C in all colors }$
- 最后我们对全局开一棵线段树，维护每个点的best中和它颜色不同的点的最小值，便于修改和查询。
- 于是每个点的答案不是$*best.begin()就是*(best.begin()+1)$，如果儿子中点权最小的儿子和父亲颜色相同，那么显然是次小的（或者无解）。
- 怎样修改，考虑我们修改u时，先把$u$从父亲节点的信息中删去，再加回来。这里的方法是：先把$best$中对应的$col[u]$的信息删掉，然后把当前点所在的$cls[f[u]][col]$中找到并删去当前点，重新排序后再加入$best$中；接着把u的信息加入到$cls[f[u]][B]$（B为修改后颜色）中，同样先删去$best$中B的信息删掉，然后把u的信息加入$cls[f[u][B]$中，重新排序后再加入$best$中。
#include<bits/stdc++.h> #define I inline #define fi first #define se second #define mp make_pair #define ls (now<<1) #define rs (now<<1|1) #define smid (l+r>>1) using namespace std; typedef map<int,multiset<int> >::iterator itcls; //神仙typedef，这里是map的指针，it->fi是前面的集合，it->se是后面映射的集合 typedef set<pair<int,int> >::iterator itset;//it是一个pair型的东西 const int N=2000010; const int inf=2147483647; I int read() { int x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x*f; } struct EDGE { int u,v,w; }e[N]; struct node { int to,nxt,w; }g[N<<1]; int head[N],cnt; int n,m,k,q; int col[N],w[N],f[N]; int mi[N<<2]; I void pushup(int now){mi[now]=min(mi[ls],mi[rs]);} I void bt(int now,int l,int r) { mi[now]=inf; if(l==r)return; bt(ls,l,smid);bt(rs,smid+1,r); pushup(now); } I void modify(int now,int l,int r,int pos,int val) { if(l==r){mi[now]=val;return;} if(pos<=smid)modify(ls,l,smid,pos,val); else modify(rs,smid+1,r,pos,val); pushup(now); } I bool cmp(EDGE a,EDGE b){return a.w<b.w;} I void add(int u,int v,int w) { g[++cnt].nxt=head[u]; g[cnt].to=v;g[cnt].w=w; head[u]=cnt; } struct DSU { int f[N]; I void init(int x){for(int i=1;i<=x;i++)f[i]=i;} I int getf(int x){return x==f[x]?x:f[x]=getf(f[x]);} }dsu; I void kruskal() { sort(e+1,e+1+m,cmp); int tot=0;cnt=0; dsu.init(n); for(int i=1;i<=m;i++) { int u=e[i].u,v=e[i].v,w=e[i].w; if(dsu.getf(u)!=dsu.getf(v)) { dsu.f[dsu.getf(u)]=dsu.getf(v); tot++;add(u,v,w);add(v,u,w); if(tot==n-1)return; } } } map<int,multiset<int> >cls[N]; multiset<pair<int,int> >best[N]; I void dfs(int u,int fa) { f[u]=fa; for(int i=head[u];i;i=g[i].nxt) { int v=g[i].to; if(v==fa)continue; w[v]=g[i].w;cls[u][col[v]].insert(w[v]); dfs(v,u); } for(itcls it=cls[u].begin();it!=cls[u].end();it++) best[u].insert(mp(*((it->se).begin()),it->fi)); //真·STL，(it维护的是map的指针，it->se是映射的multiset,it->fi是颜色 if(best[u].empty())return; itset it=best[u].begin(); if((it->se)!=col[u])modify(1,1,n,u,it->fi); else { it++;if(it==best[u].end())modify(1,1,n,u,inf); else modify(1,1,n,u,it->fi); } } int main() { n=read();m=read();k=read();q=read(); for(int i=1;i<=m;i++) { int x=read(),y=read(),z=read(); e[++cnt]=(EDGE){x,y,z}; } for(int i=1;i<=n;i++)col[i]=read(); kruskal();bt(1,1,n);dfs(1,0); while(q--) { int u=read(),c2=read(); if(f[u]) { int c1=col[u]; best[f[u]].erase(best[f[u]].find(mp(*cls[f[u]][c1].begin(),c1))); cls[f[u]][c1].erase(cls[f[u]][c1].find(w[u])); if(cls[f[u]][c1].empty())cls[f[u]][c1].insert(inf); best[f[u]].insert(mp(*cls[f[u]][c1].begin(),c1)); if(!cls[f[u]][c2].empty()) best[f[u]].erase(best[f[u]].find(mp(*cls[f[u]][c2].begin(),c2))); cls[f[u]][c2].insert(w[u]); best[f[u]].insert(mp(*cls[f[u]][c2].begin(),c2)); itset it=best[f[u]].begin(); if((it->se)!=col[f[u]])modify(1,1,n,f[u],it->fi); else { it++;if(it==best[f[u]].end())modify(1,1,n,f[u],inf); else modify(1,1,n,f[u],it->fi); } } if(!best[u].empty()) { itset it=best[u].begin(); if((it->se)!=c2)modify(1,1,n,u,it->fi); else { it++;if(it==best[u].end())modify(1,1,n,u,inf); else modify(1,1,n,u,it->fi); } } col[u]=c2; printf("%d ",mi[1]); } }