数论总结

• 数论总结

• 欧拉筛

　　核心思想：对于每个合数，都用其最小质因子筛去，故复杂度O(n)

　　code：

　　

　　关于这句话：

　　 

　　当prime[j]成为i的素因子时，那么i*prime[j]一定可以表现为一个更小的素因子和一个更大的合数的乘积，在后面一定会被筛去，因此这里直接关闭。

• 欧拉函数

　　

　　怎样理解？

　　1.$p$为素数，那么结论显然成立。

　　2.1-p^a中，只有$p$的倍数可以被$p$整除，这样的倍数有p^a-1个，减去即可。

　　3.直接记下即可，证明如下：

　　

　　对于第1行，与$m$互质的数有$φ(m)$个，而一共有$n$列，对于每个互质的数$r$，$k*m+r$与$m$也互质，故一共有$φ(m)$列数与$m$互质。又因为每一列的$n$个数$k*m+r$在$mod n$意义下构成一个完全剩余系（它们本身都不相等，$mod n$后余数都不相等），故$mod n$后的数构成的数列即为原数列的一个排列，故每一列都有$φ(n)$个数与$n$互质，故$φ(mn)=φ(m)*φ(n)$。

　　

　　1.由定义可得。

　　2.由欧拉函数的积性，已证。

　　3.由筛法公式，对于

　　

　　由上图，质因子有3个时，个数为集合$S$（方框）减去三个圈的全集。即$S-(1/p1+1/p2+1/p3-1/p1p2-1/p1p3-1/p2p3+1/p1p2p3)$因式分解后即可得出结果。

　　4.$n$为奇数，$n$与2互质，$φ(2n)=φ(2)*φ(n)=φ(n)$

　　5.证明如下：

　　

• 欧拉定理

　　

　　设$ x1,x2...x$_φ(m)为$1-m$中与$m$互质的数，那么因为$a%与$m$互质，所以$ a*x1,a*x2...a*x$_φ(m)也与$m$互质。

　　那么有：

　　

　　  比较显然。。。

　　推论：

　　

　　  $p$为质数，$φ(p)=p-1$把$1$除过来就是逆元了。

• 广义欧拉定理