离线算法——CDQ分治
CDQ （SHY）显然是一个人的名字，陈丹琪（MM）（NOI2008金牌女选手）。
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从归并开始（这里并没有从逆序对开始，是想直接引入分治思想，而不是引入处理对象）
一个很简单的归并排序：一个乱序的数列，每次将其折半，类似于线段树这样的数据结构，每个子区间先处理好，最后汇总到上一层。
其中层数不超过log(n)层，每次处理的复杂度是O(n)的，因此其复杂度为O(nlogn)。
code：
void merge_sort(int l,int r)
{
if(l==r)return;
int mid=(l+r>>1);
merge_sort(l,mid);merge_sort(mid+1,r);
int i=l,j=mid+1,k=l;
while(i<=mid&&j<=r)
{
if(a[i]<a[j])t[k++]=a[i++];
else t[k++]=a[j++];
}
while(i<=mid)t[k++]=a[i++];
while(j<=r)t[k++]=a[j++];
go(i,l,r)a[i]=t[i];
}
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简单应用（逆序对）
逆序对就是求数列中满足i<j&&a[i]>a[j]的二元组(i,j)的对数。
举个栗子（真好吃）：1,4,3,8,4,3,8(val)
1,2,3,4,5,6,7(pos)
对于pos：(2,3),(2,6),(4,5),(4,6),(5,6)都是逆序对
于是就我们可以由归并的性质：因为pos已经天然有序，因此我们只要看val就可以了。
在merge时，如果右边的当前位置j比左边的位置i小，那么它一定比[i,mid]中的所有数都小，因此ans+=mid-i+1。
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从逆序对到二维偏序问题
二维偏序问题其实就是把逆序对的pos打乱，且会重复，它可以理解为在平面直角坐标系中，有n个点(i,j)，求每个点和(0,0)形成的矩形内有多少个点。
双关键字排序后直接树状数组即可：
例题：二维偏序
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
const int N=100010;
struct star
{
int x,y;
}s[N];
long long tarr[N];
int n;
long long ans;
bool cmp(star a,star b)
{
return a.x==b.x?a.y<b.y:a.x<b.x;
}
void add(int pos,int val)
{
while(pos<=N)
{
tarr[pos]+=val;
pos+=lowbit(pos);
}
}
int query(int pos)
{
int res=0;
while(pos)
{
res+=tarr[pos];
pos-=lowbit(pos);
}return res;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&s[i].x,&s[i].y);
}
sort(s+1,s+1+n,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
ans+=query(s[i].y);
add(s[i].y,1);
}
cout<<ans;
}
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从二维偏序到三维偏序
板子：陌上花开
有了之前的基础，三维偏序也很简单：
我们按三关键字排序，(优先级a>b>c)，对第二位进行归并排序，在merge时，对于左边的i和右边的j，如果第二维满足(bi<bj)，则在树状数组中加入ci,直到存在某个bi不满足此关系，则j可以查询树状数组中所有ci<cj的三元组，由于之前对第一维的排序和对第二维的归并，前两维一定是满足条件的。这里有个去重还是挺烦的。
code:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #define lowbit(x) (x&-x) using namespace std; const int N=100010; const int M=200010; struct node { int a,b,c,f,w; }e[N],t[N]; int cnt; int n,m; int ans[N]; int tarr[M]; bool cmp(node x,node y) { return x.a==y.a?(x.b==y.b?x.c<y.c:x.b<y.b):x.a<y.a; } void add(int pos,int val) { while(pos<=m) { tarr[pos]+=val; pos+=lowbit(pos); } } int query(int pos) { int res=0; while(pos) { res+=tarr[pos]; pos-=lowbit(pos); }return res; } void CDQ(int l,int r) { if(l==r)return; int mid=(l+r>>1); CDQ(l,mid);CDQ(mid+1,r); int i=l,j=mid+1,k=l; while(i<=mid&&j<=r) { if(e[i].b<=e[j].b)add(e[i].c,e[i].w),t[k++]=e[i++]; else e[j].f+=query(e[j].c),t[k++]=e[j++]; } while(i<=mid)add(e[i].c,e[i].w),t[k++]=e[i++]; while(j<=r)e[j].f+=query(e[j].c),t[k++]=e[j++]; for(int i=l;i<=mid;i++)add(e[i].c,-e[i].w); for(int i=l;i<=r;i++)e[i]=t[i]; } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d%d",&e[i].a,&e[i].b,&e[i].c),e[i].w=1; sort(e+1,e+1+n,cmp); cnt=1; for(int i=2;i<=n;i++) { if(e[i].a==e[cnt].a&&e[i].b==e[cnt].b&&e[i].c==e[cnt].c) e[cnt].w++; else e[++cnt]=e[i]; } CDQ(1,cnt); for(int i=1;i<=cnt;i++)ans[e[i].f+e[i].w-1]+=e[i].w; for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",ans[i]); }
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应用：
这是一个三维偏序问题，我们把时间当做第一维，x当做第二维，y当做第三维。
按照处理三维偏序的思路，我们先按(t>x>y)排序，对x进行归并，对y进行树状数组。
但是此题的查询比较烦：它查询的是矩阵前缀和。因此对每个查询，我们要处理四个区间的前缀和。这里我把一次询问拆成了四次询问。
具体细节看code：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
const int W=2000010;
const int Q=200010;
struct node
{
int id,x,y,t,sum;//id为时间，t为类型（add还是query），t=0，sum为添加的值，
//t=1，sum为返回值
}e[Q],t[Q];
int cnt;
int tarr[W];
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int w;
bool cmp(node a,node b)
{
return a.id==b.id?(a.x==b.x?a.y<b.y:a.x<b.x):a.id<b.id;
}
bool cmp2(node a,node b)
{
return a.id<b.id;
}
void add(int pos,int val)
{
while(pos<=W)
{
tarr[pos]+=val;
pos+=lowbit(pos);
}
}
int query(int pos)
{
int res=0;
while(pos)
{
res+=tarr[pos];
pos-=lowbit(pos);
}return res;
}
void CDQ(int l,int r)//CDQ分治和归并板子其实没啥本质区别
{
if(l==r)return;
int mid=(l+r>>1);
CDQ(l,mid);CDQ(mid+1,r);
int i=l,j=mid+1,k=l;//基本操作
while(i<=mid&&j<=r)
{
if(e[i].x<=e[j].x)//对第二维进行归并，如果满足条件，把第三维的贡献放到树状数组里
{
if(e[i].t==0)add(e[i].y,e[i].sum);//此时t需要为0
t[k++]=e[i++];
}
else
{
if(e[j].t==1)e[j].sum+=query(e[j].y);//如果已经没有满足条件的x了，我们就进行统计
t[k++]=e[j++];//此时t需要为1
}
}
while(i<=mid)
{
if(e[i].t==0)
add(e[i].y,e[i].sum);
t[k++]=e[i++];
}
while(j<=r)
{
if(e[j].t==1)
e[j].sum+=query(e[j].y);
t[k++]=e[j++];
}//统计剩下的
for(int i=l;i<=mid;i++)if(e[i].t==0)add(e[i].y,-e[i].sum);//必须要清空树状数组
for(int i=l;i<=r;i++)
e[i]=t[i];
}
int main()
{
while(1)
{
int cid=read();
if(cid==0)w=read();
if(cid==1)
{
int x=read()+1,y=read()+1,z=read();
e[++cnt]=(node){cnt,x,y,0,z}; //结构体直接读取
}
if(cid==2)
{
int i=read(),j=read(),x=read()+1,y=read()+1;//x，y可能为0，树状数组会爆
e[++cnt]=(node){cnt,i,j,1,0};//因此它们都要加一，对结果无影响
e[++cnt]=(node){cnt,i,y,1,0};
e[++cnt]=(node){cnt,x,j,1,0};
e[++cnt]=(node){cnt,x,y,1,0};//一个询问拆成四个询问
}
if(cid==3)break;
}
sort(e+1,e+1+cnt,cmp);//对第一维排序
CDQ(1,cnt);
sort(e+1,e+1+cnt,cmp2);//查询之前一定要按时间排好序，因为已经按第二维归并了一遍
for(int i=1;i<=cnt;i++)
{
int ans=0;
if(e[i].t==1)
{
int a=e[i].sum,b=e[i+1].sum,c=e[i+2].sum,d=e[i+3].sum;
ans=a-b-c+d;printf("%d
",ans);//遇到查询，4个合并起来就是最终答案
i+=3;
}
}
}
二维偏序很好懂，三维偏序太难画，所以这里就不放图了
完美撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿
——Thranduil