【数论】 快速幂

　　在上一期时间复杂度优化的文章中就已经提到过了快速幂，这一期就来讲一讲快速幂。

什么是快速幂？

　　快速幂正如其名，就是快速的幂，“快速”是指这种方法运算速度很快，“幂”就不用说了，（a的b次方的结果，也就是b个a相乘），一提起幂，大家一定会不约而同的想到#include<cmath>这个头文件和pow函数，但是如果不让你用这个函数，你会不会就只能写成这个德行。代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
int sxpow(int a,int b)
{
    int ans=1;
    for(int i=1;i<=b;i++)
    ans*=a;
}
int main()
{
    //do something
    return 0;
}

　　如果你只会写成这样，那么你就out了，这样一来时间复杂度会很高，既然你诚心的进来看快速幂，就表示你现在一定会缺方法来降低时间复杂度，为了优化程序，就得来学一学快速幂了。

二进制&快速幂

　　说起快速幂，就得先提一下二进制，怎么也得先会二进制吧，if(你会二进制) then 继续看；else 请圆润的走开，去学二进制。不知道为什么，网上众多大牛写的博客都喜欢用11来举例，那我也用11来举例好了。假如要求一个数a的11次方，那么就先把11改写成二进制1011，也就是11=8+2+1，这样一来，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，就把pow(a,11转化成pow(a,8)*pow(a,2)*pow(a,1)，只需要算三次，原来要算十一次，但是pow(a,8)也不好求啊，那就用分治pow(a,8)=pow(a,4)*pow(a,4)，那么pow(a,4)=pow(a,2)*pow(a,2)，知道分成pow(a,1)难道pow(a,1)你求不出来吗？我想你心中一定早就有了答案，代码胜于雄辩，先看一看代码再继续解释：

long long quickpow(int a,int b,int mod)
{
    long long ans=1,base=a;
    while(b!=0)
    {
        if(b&1==1) 
        {
            ans*=base;
            ans%=mod;
        }
        base*=base;
        base%=mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

　　这就是快速幂，就像刚才说的一样，有些地方你可能会看不懂，其中b&1表示b为奇数，这是根据二进制来判断的，就比如11，二进制是1011,1的二进制是1，1011和1在第一位上相同，其他位1连数字都没有，所以11&1的值为1，表示11是奇数；除此之外还有b>>=1相当于b/=2，这么写是为了快，使用位运算；一般情况下，题中会告你一个取模值，因为幂算出来有时会很大，说不定会爆内存。

实战演练

　　随便看两道题，T1：

　　这道题看看就好，会了快速幂也不一定能做对，毕竟不是模板题，先说道简单题再看这道题。

　　T2：

　　这道题有够简单的，完全没有任何变化，套进去就可以了，推荐大家可以先写这道题加深理解，AC代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;int mod;
long long quickpow(int a,int b,int mod)
{
    long long ans=1,base=a;
    while(b!=0)
    {
        if(b&1==1) 
        {
            ans*=base;
            ans%=mod;
        }
        base*=base;
        base%=mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int a,b;
    cin>>a>>b>>mod;
    cout<<quickpow(a,b,mod);
    return 0;
}

　　不知道你练得如何了，（附上测评网站A的B次方）现在来回过头看T1，这道题提到的序列有两种，分别是等差序列和等比序列，这样的序列在小学就学过了吧，怎么判断是否是等差序列呢，当然好办，依据等差序列差值相等，只要判断b-a和c-b是否相等即可，如果这是一个等差序列，怎么求第k个数？当然不能一次又一次循环叫上差值，小编当初就是这么写的，后来发现好像有点麻烦，于是改成了a+(k-1)*sub&200907，看起来很简单。当然还是等比数列比较麻烦，暴力当然没辙，代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
long long a,b,c,k,T,ans;double sub;
int main()
{
    cin>>T;
    for(int i=1;i<=T;i++)
    {
        cin>>a>>b>>c>>k;
        if(b-a==c-b)
        {
            sub=b-a;
            for(int i=1;i<k;i++)
            {
                a+=sub;
                if(a>200907)
                a%=200907;
            }
            cout<<a<<endl;
        }
        else
        {
            sub=b*1.0/a;
            for(int i=1;i<k;i++)
            {
                a*=sub;
                if(a>200907) a%=200907;
            }
            cout<<a<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

　　在这拼时间的题里，怎么可能用暴力过呢？当然学来的不能丢，要转化成快速幂，仿照等差数列，那么等比数列第k个数为a*pow(sub,k-1)%200907，这么算就会快很多，AC代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long ans,sub,a,b,c,k,T,base;
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    for(int i=1;i<=T;i++)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&k);
        if(b-a==c-b)
        {
            sub=b-a;sub%=200907;
            printf("%d 
",(a+(k-1)*sub%200907)%200907);
        }
        else
        {
            sub=b/a;k-=1;
            ans=1;base=sub;
            while(k!=0)
            {
                if(k&1==1) 
                {
                    ans*=base;
                    ans%=200907;
                }
                base*=base;
                base%=200907;
                k>>=1;
            }
            printf("%d 
",a*ans%200907);
        }
    }
    return 0;
}

//PS：为了不必要的麻烦，换成了scanf和printf，并且把快速幂写在了main函数里，以优化程序