KMP算法
KMP算法是一种字符串匹配算法，他可以在O(n+m)的时间内求出一个模式串在另一个模式串下出现的次数。
KMP算法是利用next数组进行自匹配，然后来进行匹配的。
Next数组
Next数组表示一个前缀的最长proper的长度。
简单地讲，$S[1 sim next[i]] = S[next[i]+1 sim i] $.
循环节
一个字符串(S)，若是由字符串(P)重复(k(k>1))次形成的，则称字符串(P)是(S)的一个循环节。使(k)最大的循环节被称为最小循环节。
引理：
对于一个字符串的前缀(S[1 sim i])，它存在一个长度为(len)的循环节，当且仅当(len|i),(len<i),且(S[1 sim len]=S[len+1 sim i]).
即(len)为(S[i])的一个(proper)长度且(len)整除(i).
显然，当(len)取(i-next[i])时，求得的循环节为最小循环节。通过(next)数组的不断迭代，可以求出前缀(S[i])的所有循环节。
对于引理的证明
先证必要性。设(S[1 sim i])具有长度为(len)的循环节，显然(len)整除(i),并且(S[1 sim i-len])和(S[len+1 sim i])都是由(i/len-1)个循环节构成的。故(S[1 sim i-len]=S[len+1 sim i]).
再证充分性。设(len)整除(i)，并且(S[len+1 sim i]=S[1 sim i-len])，因为(len<i)，所以(S[1 sim i-len])和(S[len+1 sim i])的长度不小于(len)且是(len)的倍数。各区前(len)个字符，有(S[1 sim len]=S[len+1 sim 2*len]),可以发现，他们是以(len)为间隔错位对齐的。故(S[1 sim len])是(S[i])的一个循环节。
推论
任意循环元的长度必然是最小循环元长度的整数倍。