无穷大和无穷小
无穷小
定义1
如果函数 (f(x)) 当 (x o x_0)(或 (x oinfty))时的极限为 (0),那么函数 (f(x)) 为当 (x o x_0)(或 (x oinfty))时无限小.
特别地,以 (0) 为极限的数列 ({x_n}) 称为 (n oinfty) 时的无限小.
注意(这个真的很重要):
不要把无限小与很小的数(例如 (frac{1}{11451419260817}))混为一谈,因为无限小是这样的函数,在 (x o x_0)(或 (x oinfty))的过程中,这函数的绝对值小于任意给定的正数 (varepsilon),而很小的如 (frac{1}{11451419260817}),就不能小于任意给定的正数 (varepsilon),例如 (varepsilon=frac{1}{11451419260817233}),那么 (frac{1}{11451419260817}) 就不能小于这个给定的正数 (varepsilon),但 (0) 可以作为无穷小的唯一常数,因为 (f(x)equiv 0),那么对于任意给定的 (varepsilon>0) 总有 (|f(x)|<varepsilon).
下面的定理说明无穷小和函数极限的关系.
定理1
在自变量的同一变化过程 (x o x_0)(或 (x oinfty))中,函数 (f(x)) 具有极限 (A) 的充分必要条件是 (f(x)=A+alpha),其中 (alpha) 是无限小.
证:
先证明必要性.设 (lim_{x o x_0}f(x)=A),则 (forallvarepsilon>0),(exists delta>0),使当 (0<|x-x_0|<delta) 时,有令 (alpha=f(x)-A),则 (alpha) 是当 (x o x_0) 时的无限小,且$$f(x)=A+alpha.$$这就证明了 (f(x)) 等于它的极限 (A) 与一个无穷小 (alpha) 之和.
再证明充分性.设 (f(x)=A+alpha),其中 (A) 是常数,(alpha) 是当 (x o x_0) 时的无限小,于是$$|f(x)-A|=|alpha|.$$因 (alpha) 是当 (x o x_0) 时的无限小,所以 (forall varepsilon>0) 使当 (0<|x-x_0|<delta) 时,有$$|alpha|<varepsilon,$$即$$|f(x)-A|<varepsilon.$$这就证明了 (A) 是 (f(x)) 当 (x o x_0) 时的极限.
类似方法也可以证明 (x oinfty) 是的情况.
无穷大
如果 (x o x_0)(或 (x oinfty))时,对应的函数值的绝对值 (|f(x)|) 可以大于预先指定的任何很大的正数 (M),那么就称函数 (f(x)) 是当 (x o x_0)(或 (x oinfty))时的无穷大.
定义2
设函数 (f(x)) 在 (x_0) 的某一去心邻域内有定义(或 (|x|) 大于某一正数时有定义).如果对于任意给定的正数 (M),总存在正数 (delta)(或正数 (X)),只要 (x) 适合不等式 (0<|x-x_0|<delta)(或 (|x|>X)),对应的函数值 (f(x)) 总满足不等式$$|f(x)|>M,$$那么称函数 (f(x)) 是当 (x o x_0) 时的无穷大.
按函数极限的定义来说,当 (x o x_0)(或 (x oinfty))时的无穷大的函数 (f(x))的极限是不存在的.但时为了便于叙述函数的这一性态,我们也说"函数的极限是无穷大",并记作$$lim_{x o x_0}f(x)=infty$$(或 (lim_{x oinfty}f(x)=infty)).
如果在无穷大的定义中,把 (|f(x)|>M) 换成 (f(x)<M)(或 (f(x)<-M)),就记作$$mathop{lim_{x o x_0}f(x)}limits_{(x oinfty)}=+infty$$(或 (mathop{lim_{x o x_0}f(x)}limits_{(x oinfty)}=-infty)).
注意:,无穷大((infty))不是树,不可与很大的数(如 (11451419260817))混为一谈.