函数的极限
函数极限的定义
因为数列 ({x_n}) 可以看作自变量 (n) 的函数:(x_n=f(n)),(nin mathbb{N}_+),所以数列 (x_n) 的极限为 (a),就是:当自变量取正整数而无线增大(即 (n oinfty))时,对应的函数值 (f(n)) 无限接近于确定的数 (a).把数列极限概念中的函数为 (f(n)) 而自变量的变化过程 (n oinfty) 等特殊性撇开,这样可以引出函数极限的一般概念:在自变量的某个变化中,如果对应的函数值无限接近于某个确定的数,那么这个确定的数就叫做这一变化过程中函数的极限.这个极限是与自变量的变化过程密切相关的,由于自变量的变化过程不同,函数的极限就表现为不同的形式.数列极限看作函数 (f(n)) 当 (n oinfty) 时的极限,这里自变量的变化过程是 (n oinfty).下面讲述自变量的变化过程为其他情形时函数 (f(n)) 的极限,只要研究两种情形:
- 自变量 (x) 任意接近于有限值 (x_0) 或者说趋近于有限值 (x_0)(记作 (x o x_0))时,对于的函数 (f(x)) 的变化情形;
- 自变量 (x) 的绝对值 (|x|) 无限增大即趋近于无穷大(记作 (x oinfty))时,对于的函数值 (f(x)) 的变化情形.
自变量趋近于有限值时函数的极限
现在考虑自变量 (x) 的变化过程为 (x o x_0).如果 (x o x_0) 的过程中,对应的函数值 (f(x)) 无限接近于某个确定数值 (A),那么就说 (A) 是函数 (f(x)) 当 (x o x_0) 时的极限.当然我们这里首先假设函数 (f(x)) 在点 (x_0) 的某个去心领域内是有定义的.(去心邻域的定义:以 (x_0) 为中心的任何开区间称为点 (x_0) 的邻域,记作 (U(x_0));在 (U(x_0)) 中去掉中心 (x_0) 后,称为点 (x_0) 的去心邻域,记作 (mathring{U}(x_0)))
在 (x o x_0) 的过程中,对于的函数值 (f(x)) 无限接近于 (A),就是 (|f(x)-A|) 能达到任意小.如数列极限概念所述,(|f(x)-A|) 能任意小这件事可以用 (|f(x)-A|<varepsilon) 来表达,其中 (varepsilon) 是给定是任意正数.因为函数值 (f(x)) 无限接近于 (A) 是在 (x o x_0) 的过程中实现的,随意对于任意给定的正数 (varepsilon),只要求重复接近于 (x_0) 的 (x) 所对于的函数值 (f(x)) 满足不等式 (|f(x)-A|<varepsilon);而重复接近于 (x_0) 的 (x) 氪表达为 (0<|x-x_0|<delta),其中 (delta) 是某个正数.从几何上看,适合不等式 (0<|x-x_0|<delta) 的 (x) 的全体,就是点 (x_0) 的去心 (delta) 领域,而领域半径 (delta) 则体现了 (x) 接近 (x_0) 的程度.
定义1
设函数 (f(x)) 在点 (x_0) 的某一去心领域内有定义.如果存在常数 (A),对于任意给定的正数 (varepsilon)(不论多么小),总存在正数 (delta),使得当 (x) 满足不等式 (0<|x-x_0|<delta) 时,对应函数值 (f(x)) 都满足不等式$$|f(x)-A|<varepsilon,$$那么常数 (A) 就叫做函数 (f(x)) 当 (x o x_0) 时的极限,记作(lim_{x o x_0}f(x)=A) 或 (f(x) o A(x o x_0))(当 (x o x_0)).