数值计算day3-求解线性方程组(上)

上节课主要介绍了非线性方程的几种数值解法，其中包括交叉法（二分法、线性插值法）和开放法（牛顿法、割线法、固定点法）。本节课主要介绍线性方程组的数值求解方法，主要分为直接法和迭代法两类。直接法包括高斯消去法(Gauss elimination)、高斯约当法(Gauss-Jordan)以及LU分解法，迭代法包括Jacobi法和高斯塞德尔法(Gauss-Seidel) 。

1. 高斯消去法（Gauss Elimination Method）

高斯消去法是通过将线性方程组转化为上三角的形式，然后一步一步回代(back substitution)求解的方法。
例：$$ egin{cases}x_1+2x_2=5
3x_1+4x_2=6end{cases} $$

• 系统法：$$ egin{cases}x_1+2x_2=5
  3x_1+4x_2=6end{cases} ightarrow egin{cases}x_1+2x_2=5
  0-2x_2=-9end{cases} ightarrow egin{cases}x_1+2x_2=5
  x_2=4.5end{cases} ightarrow egin{cases}x_1=-4
  x_2=4.5end{cases}$$
• 系统法的增广矩阵形式：将方程写为矩阵的形式 $$egin{bmatrix}1 & 2 3 & 4end{bmatrix} egin{bmatrix}x_1 x_2 end{bmatrix}=egin{bmatrix}56end{bmatrix}$$ 系统法的求解过程可以写成如下增广矩阵的变换形式 $$egin{bmatrix}1 & 2 & 5 3 & 4 & 6end{bmatrix} ightarrow egin{bmatrix}1 & 2 & 5 & -2 & -9end{bmatrix} ightarrow egin{bmatrix}1 & 2 & 5 & 1 & 4.5end{bmatrix} ightarrow egin{bmatrix}1 & 0 & -4 & 1 & 4.5end{bmatrix} $$

例：

[egin{cases}2x_1+x_2-x_3=1\x_1+2x_2+x_3=8\-x_1+x_2-x_3=-5end{cases} ]

matrix:

[egin{bmatrix}2 & 1 & -1 & 1\ 1 &2 & 1 & 8\ -1 & 1 & -1 & -5 end{bmatrix} ightarrow egin{bmatrix}2 & 1 & -1 & 1\ 0 &1.5 & 1.5 & 7.5\ 0 & 1.5 & -1.5 & -4.5 end{bmatrix} ]

[ ightarrow egin{bmatrix}2 & 1 & -1 & 1\ 0 &1.5 & 1.5 & 7.5\ 0 & 0 & -3 & -12end{bmatrix} ightarrow egin{cases}-3x_2 = -12\x_3=4end{cases} ightarrow egin{cases}x_1 =2 \x_2=1\x_3=4end{cases} ]

类似的，(n imes n) 形式的方程组: $$ egin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+cdots+a_{1n}x_n=b_1
a_{21}x_1+a_{22}x_2+cdots+a_{2n}x_n=b_2
vdots
a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+cdots+a_{nn}x_n=b_n
end{cases}$$
可以写作如下矩阵形式：$$A=egin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n}
a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n}
vdots
a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}
end{bmatrix}, x=egin{bmatrix}x_1 cdots x_nend{bmatrix}, b=egin{bmatrix}b_1 cdots b_nend{bmatrix}, Ax=b$$

高斯消去法的核心：

• 方程组写为矩阵形式
• 矩阵行变换：将一行中所有元素乘上一个标量，减去（加上）另外一行，该操作不会改变方程的解
• 逐行变换，直至将矩阵转换为便于求解的形式

一般而言，如下三种矩阵形式方便求解：

• 对角形式： (egin{bmatrix}1 & & 0\ & ddots & \0 & & 1 end{bmatrix})， (x_n=b_n)
• 上三角形式： (egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n}\ & a_{22} & cdots & a_{2n}\ & & ddots&vdots\ & & & a_{nn}\ end{bmatrix})，使用回代法求解(back substitution): $$a_{nn}x_n=b_n ightarrow x_n = frac{b_n}{a_{nn}}$$ $$a_{n-1,n-1}x_{n-1}+ a_{n-1,n}x_n=b_{n-1} ightarrow x_{n-1}=frac{b_{n-1}-a_{n-1,n}x_n}{a_{n-1,n-1}} $$ 重复下去 $$x_i=frac{b_i-sum^n_{j=i+1}a_{ij}x_j}{a_{ii}}$$
• 下三角形式 ：(egin{bmatrix} a_{11} & & &\ a_{21} & a_{22} & &\ vdots & vdots & ddots&\ a_{n1}& a_{n2}& cdots & a_{nn}\ end{bmatrix}) 使用前向替换法(forward substitution): $$a_{11}x_1=b_1 ightarrow x_1 = frac{b_1}{a_{11}}$$ $$a_{2,1}x_{1}+ a_{2,2}x_2=b_{2} ightarrow x_{2}=frac{b_{2}-a_{2,1}x_1}{a_{2,2}}$$ 重复下去 $$x_i=frac{b_i-sum^{i-1}{j=1}a{ij}x_j}{a_{ii}}$$

Matlab实现（求解(Ax=b), 使用左除(x=Aackslash b)）:

>> A = [1 2;3 4]

A =

     1     2
     3     4

>> b = [5 6]'

b =

     5
     6

>> x = A

x =

   -4.0000
    4.5000

>> format long
>> x = A

x =

  -3.999999999999999
   4.499999999999999

MATLAB实现（高斯消去法）：

function x=Gauss(a,b)
  ab=[a,b];
  [R,C]=size(ab);
  for j=1:R-1
	  for i=j+1:R
          ab(i,j:C)=ab(i,j:C)-ab(i,j)/ab(j,j)*ab(j,j:C);
      end
  end
  x=zeros(R,1);
  x(R)=ab(R,C)/ab(R,R);
  for i=R-1:-1:1
      x(i)=(ab(i,C)-ab(i,i+1:R)*x(i+1:R))/ab(i,i);
  end
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
>> A = [1 2;3 4]

A =

     1     2
     3     4

>> b = [5 6]'

b =

     5
     6

>> format long
>> Gauss(A,b)

ans =

  -4.000000000000000
   4.500000000000000

MATLAB实现（回代法与前向替换法）

function y = BackwardSub(a,b)
% The function solves a system of linear equations ax=b 
% where a is upper triangular by using backward substitution.
% Input variables:
% a  The matrix of coefficients.
% b  A column vector of constants.
% Output variable:
% y  A colum vector with the solution.

n = length(b);
y(n,1) = b(n)/a(n,n);
for i = n-1:-1:1
    y(i,1)=(b(i)-a(i,i+1:n)*y(i+1:n,1))./a(i,i);
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function y = ForwardSub(a,b)
% The function solves a system of linear equations ax=b 
% where a is lower triangular by using forward substitution.
% Input variables:
% a  The matrix of coefficients.
% b  A column vector of constants.
% Output variable:
% y  A colum vector with the solution.

n = length(b);
y(1,1) = b(1)/a(1,1);
for i = 2:n
    y(i,1)=(b(i)-a(i,1:i-1)*y(1:i-1,1))./a(i,i);
end

2. 高斯主元消去(Gauss Pivoting)

可以发现，当主元为(0)或非常小时，使用高斯消去法会失去精度，因此，在必要时可以交换行的顺序: $$egin{bmatrix}
0 & 2 & 5 3 & 4& 5
end{bmatrix}, $$ 高斯主元法就是通过交换行的顺序，来保证主元不为0，并且尽可能取绝对值较大的值，下面通过一个案例，说明主元很小时，高斯消去法会造成计算精度上出现较大误差，而高斯主元法的计算结果会更为精确。
例: $$ egin{cases}0.0003x_1 + 12.34x_2=12.343 .4321 x_1+x_2=5.321end{cases}$$ 使用高斯消去:

• (frac{0.4321}{0.0003}=1440) (round-off error, since (0.0003*1440 = 0.4320))

• [egin{cases}0.0003x_1 + 12.34x_2=12.343 \ 0.0001 x_1+17770x_2=-17760end{cases} ightarrow x_2 = -frac{17760}{17770}=0.9994 ightarrow x_1 = frac{12.343-12.34*0.9994}{0.0003}=33.33 ]

MATLAB运算结果：

>> A = [0.0003 12.34;0.4321 1]

A =

   0.000300000000000  12.340000000000000
   0.432100000000000   1.000000000000000

>> b = [12.343 5.321]'

b =

  12.343000000000000
   5.321000000000000

>> A

ans =

  10.000000000000000
   1.000000000000000

若交换行序（高斯主元消去）：

• (frac{0.0003}{0.4321}=0.0006943)(round-off error, since (0.4321*0.0006943 = 0.0003))

• [egin{cases}0.4321 x_1+x_2=5.321 \ 0x_1 + 12.34x_2=12.34end{cases} ightarrow x_2 = -frac{12.34}{12.34}=1 ightarrow x_1 = frac{5.321-1}{0.4321}=10 ]

MATLAB实现（高斯主元消去）

function x=GaussPivot(a,b)
  ab=[a,b];
  [R,C]=size(ab);
  for j=1:R-1
      if ab(j,j)==0
          for k=j+1:R
              if ab(k,j)~=0
                  abTemp=ab(j,:);
                  ab(j,:)=ab(k,:);
                  ab(k,:)=abTemp;
                  break
              end
          end          
      end
	  for i=j+1:R
          ab(i,j:C)=ab(i,j:C)-ab(i,j)/ab(j,j)*ab(j,j:C);
      end
  end
  x=zeros(R,1);
  x(R)=ab(R,C)/ab(R,R);
  for i=R-1:-1:1
      x(i)=(ab(i,C)-ab(i,i+1:R)*x(i+1:R))/ab(i,i);
  end
end

3. 高斯约当法（Gauss-Jordan Method， 同时适用于求矩阵的逆）

高斯约当法一般采用高斯主元消去法，不同的是，高斯约当法每次会将主元规范化为(1)，且最终将原矩阵转化为单位矩阵。
例：$$egin{bmatrix}4 & 1 & 2 & 21 2 & -2 & 2 & 8 1 & -2 & 4 & 16end{bmatrix} ightarrow egin{bmatrix}1 & -2 & 4 & 16 2 & -2 & 2 & 8 4 & 1 & 2 & 21 end{bmatrix} ightarrow egin{bmatrix}1 & -2 & 4 & 16 0 & 2 & -6 & -24 & 9 & -14 & -43 end{bmatrix}$$ $$ ightarrow egin{bmatrix}1 & -2 & 4 & 16 0 & 1 & -3 & -12 & 9 & -14 & -43 end{bmatrix} ightarrow egin{bmatrix}1 & 0 & -2 & -8 0 & 1 & -3 & -12 & 0 & 13 & 65 end{bmatrix} ightarrow egin{bmatrix}1 & 0 & -2 & -8 0 & 1 & -3 & -12 & 0 & 1 & 5 end{bmatrix}$$ $$ ightarrow egin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 5 end{bmatrix}$$

可以看到，高斯约当法可以很方便地用来求解一个矩阵的逆：(AB=I), (Aegin{bmatrix}b_1 & b_2 & b_3 end{bmatrix} ightarrow egin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & 1 & 0 & 0\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & 1 & 0\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 & 0 & 1end{bmatrix} ightarrow egin{bmatrix}1 & 0 & 0 &c_{11} & c_{12} & c_{13} & \ 0 & 1 & 0 & c_{21} & c_{22} & c_{23} &\ 0 & 0 & 1& c_{31} & c_{32} & c_{33} end{bmatrix})

4. LU分解法（LU-decomposition Method）

LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积：(A=LU), 其中(L) 表示下三角矩阵, (U)表示上三角矩阵。LU分解之后，求解线性方程(Ax=b) 就等价于求解如下两个方程：$$Ux=y,Ly=b$$

LU分解主要有两种方法来实现：

• 高斯消去(Gauss Elimination);
• Crout's Method

4.1 Crout's Method

[egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n}\ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n}\ vdots\ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} end{bmatrix}=egin{bmatrix}L_{11} & & & & \ L_{21} & L_{22} & & & \ vdots & vdots & ddots & \ L_{n1} & L_{n2} & cdots & L_{nn} end{bmatrix} egin{bmatrix}1 & U_{12} & U_{13} & cdots & U_{1n} \ & 1 & U_{23} & cdots &U_{2n}\ & & ddots & & vdots \ & & & & 1end{bmatrix} ]

例:

[egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\ a_{31} & a_{32} & a_{33} end{bmatrix}=egin{bmatrix} L_{11} & 0 & 0\ L_{21} & L_{22} & 0\ L_{31} & L_{32} & L_{33} end{bmatrix}egin{bmatrix} 1 & U_{12} & U_{13}\ 0 &1 & U_{23}\ 0 & 0 & 1 end{bmatrix}=egin{bmatrix} L_{11} & L_{11}U_{12} & L_{11}U_{13}\ L_{21} & L_{21}U_{12}+L_{22} & L_{21}U_{13}+ L_{22}U_{23}\ L_{31} & L_{31}U_{12}+L_{32} & L_{33}+ L_{31}U_{13}+ L_{32}U_{23} end{bmatrix}]

采用待定系数法求解：$$L_{11}=a_{11},L_{21}=a_{21},L_{31}=a_{31}$$ $$U_{12} = frac{a_{12}}{L_{11}}, U_{13}=frac{a_{13}}{L_{11}}$$ $$L_{22}=a_{22}-L_{21}U_{12},L_{32}=a_{32}-L_{31}U_{12}$$ $$U_{23}=frac{a_{23}-L_{21}U_{13}}{L_{22}}$$ $$L_{33}=a_{33}-L_{31}U_{13}-L_{32}U_{23}$$
结合计算过程，可以推导出，对于(n imes n)矩阵，使用Crout's Method进行LU分解的通用形式为：

• (L)矩阵的第一列 $$L_{i1}=a_{i1},i=1,2,...,n$$
• (U)矩阵的对角元素 $$U_{ii}=1,i=1,2,...,n$$
• (U)矩阵的第(1)行 $$U_{1j} = frac{a_{1j}}{L_{11}},j=2,...,n$$
• (L)矩阵的其他元素 $$L_{ij}=a_{ij}-sum^{j-1}{k=1}L{ik}U_{kj},i=2,3,...,n,j=2,3,...,i$$
• (U)矩阵的其他元素 $$U_{ij} = frac{a_{ij}-sum^{j-1}{k=1}L{ik}U_{kj}}{L_{ii}},i=2,3,...,n,j=i+1,i+2,...,n$$

MATLAB实现(LU分解，Crout's Method)

function [L, U] = LUdecompCrout(A)
% The function decomposes the matrix A into a lower triangular matrix L 
% and an upper triangular matrix U, using Crout's method such that A=LU.
% Input variables:
% A  The matrix of coefficients.
% Output variable:
% L  Lower triangular matrix.
% U  Upper triangular matrix.

[R, C] = size(A);
for i = 1:R
    L(i,1) = A(i,1);
    U(i,i) = 1;
end
for j = 2:R
    U(1,j)= A(1,j)/L(1,1);
end
for i = 2:R
    for j = 2:i
        L(i,j)=A(i,j)-L(i,1:j-1)*U(1:j-1,j);
    end
    for j = i+1:R
        U(i,j)=(A(i,j)-L(i,1:i-1)*U(1:i-1,j))/L(i,i);
    end
end

4.2 高斯消去

[egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n}\ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n}\ vdots\ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} end{bmatrix}=egin{bmatrix}1 & & & & \ m_{21} & 1 & & & \ m_{31} & m_{32} & 1 & &\ vdots & vdots & vdots & ddots & \ m_{n1} & m_{n2} & cdots & m_{n,n-1} & 1end{bmatrix} egin{bmatrix}a'_{11} & a'_{12} & cdots & a'_{1n} \ & a'_{22} & cdots & a'_{2n}\ & & ddots & vdots\ & & & a'_{nn}end{bmatrix}]

general formulation: (m_{ij}=frac{a'_{ij}}{a'_{jj}})

例: (egin{bmatrix}1 & 2\3 & 4end{bmatrix}=egin{bmatrix}1 & 0\3 & 1end{bmatrix}egin{bmatrix}1 & 2\0 & -2end{bmatrix})

高斯消去法进行LU分解也可以通过待定系数法求解出矩阵参数：

• (U)矩阵第一行：$$U_{1j}=a_{1j}，j=1,2,...,n$$
• (L)矩阵对角元素：$$L_{ii}=1,i=1,2,...,n$$
• (L)矩阵第一列：$$L_{i1}=frac{a_{i1}}{U_{11}}$$
• (U)矩阵其他元素：$$U_{ij}=a_{ij}-sum^{i-1}{k=1}L{ik}U_{kj},j=2,...,n,i=2,...,j$$
• (L)矩阵其他元素：$$L_{ij}=frac{a_{i,j}-sum^{j-1}{k=1}L{ik}U_{kj}}{L_{jj}},j=2,...,n,i=j+1,...,n$$

MATLAB实现(LU分解，高斯法，待定系数)

function [L,U] = LUdecopGauss(A)
[R,C] = size(A);
for i = 1:C
    L(i,i) = 1;
    U(1,i) = A(1,i);
end
for i = 2:R
    L(i,1) = A(i,1)/U(1,1);
end

for j = 2:C
    for i = 2:j
        U(i,j) = A(i,j)-L(i,1:i-1)*U(1:i-1,j);
    end
    for i= (j+1):R
        L(i,j) = (A(i,j)-L(i,1:j-1)*U(1:j-1,j))/U(j,j);
    end
end
end

高斯消去的待定系数法与Crout's 方法的待定系数法相比，要难以理解，可读性差，主要在于通解形式与常规的求解顺序不一致。为便于理解，还有一种拉格朗日形式来实现高斯消去法：
回顾高斯消去的过程：

• 第一步运算 $$A = egin{bmatrix}
  a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n}
  a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n}
  vdots
  a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}
  end{bmatrix} ightarrow A'=egin{bmatrix}
  a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n}
  0 & a'{22} & cdots & a'{2n}
  vdots
  0 & a'{n2} & cdots & a'{nn}
  end{bmatrix}=L_1A,L_1=egin{bmatrix}
  1 & 0 & cdots & 0
  -frac{a_{21}}{a_{11}} & 1 & cdots & 0
  vdots
  -frac{a_{n1}}{a_{11}} & 0 & cdots & 1
  end{bmatrix}$$ 这是一步行变换
• 第二步运算 $$A'=egin{bmatrix}
  a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n}
  0 & a'{22} & cdots & a'{2n}
  vdots
  0 & a'{n2} & cdots & a'{nn}
  end{bmatrix} ightarrow A''=egin{bmatrix}
  a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n}
  0 & a'{22} & cdots & a'{2n}
  vdots
  0 & 0 & cdots & a''{nn}
  end{bmatrix}=L_2A‘,L_2=egin{bmatrix}
  1 & 0 & cdots & 0
  0 & 1 & cdots & 0
  vdots
  0 & -frac{a'{n2}}{a'_{22}} & cdots & 1
  end{bmatrix}$$
• 第(n-1)步运算后 $$egin{bmatrix}U_{11} & U_{12} & cdots & U_{1n} & U_{22} & cdots & U_{2n} & & ddots & vdots & & & U_{nn}end{bmatrix}=L_{n-1}L_{n-2}...L_1A$$ 此时即为LU分解中的U矩阵，而(L=L^{-1}_{1}...L^{-1}_{n-2}L^{-1}_{n-1}=egin{bmatrix} 1 & 0 & cdots & 0\ frac{a_{21}}{a_{11}} & 1 & cdots & 0\ vdots\ frac{a_{n1}}{a_{11}} & 0 & cdots & 1 end{bmatrix}egin{bmatrix} 1 & 0 & cdots & 0\ 0 & 1 & cdots & 0\ vdots\ 0 & frac{a'_{n2}}{a'_{22}} & cdots & 1 end{bmatrix}...=egin{bmatrix} 1 & 0 & cdots & 0\ frac{a_{21}}{a_{11}} & 1 & cdots & 0\ vdots\ frac{a_{n1}}{a_{11}} & frac{a'_{n2}}{a'_{22}} & cdots & 1 end{bmatrix})可以看到 (L_{ij}=frac{a_{ij}}{a'_{jj}})

MATLAB实现(LU分解，高斯消去，拉格朗日形式)

function [L,U]=LUGauss2(A)
  [R,C]=size(A);
   L = zeros(size(A));
  for i = 1:C
    L(i,i) = 1;
  end
  for j=1:R-1
	  for i=j+1:R
          L(i,j) = A(i,j)/A(j,j);
          A(i,j:C)=A(i,j:C)-A(i,j)/A(j,j)*A(j,j:C);
      end
  end
  U = A;
end

5. 总结

本节课主要介绍了求解线性方程组的几种直接法，包括高斯消去、高斯主元消去、高斯约当、LU分解法等，其中高斯约当法可以用来求矩阵的逆。 矩阵的LU分解又可以通过高斯消去和Crout 方法来实现，对参数矩阵进行LU分解后，很容易可以求解方程。下节课介绍求解线性方程组的迭代法。