LeetCode动态规划系列（2）——LeetCode300题详解

一、题目描述

　　给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

　　示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4 
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。

　　说明:

• 可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
• 你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。

　　进阶: 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log n) 吗?

二、解题思想

（1）动态规划

　　1、算法：

　　出现“最长”这种优化问题的字眼，首先想到的就是使用动态规划。

　　定义 dp[i]为考虑前 i个元素，以第 i个数字结尾的最长上升子序列的长度，注意 nums[i] 必须被选取。

　　我们从小到大计算 dp[]数组的值，在计算 dp[i]之前，我们已经计算出 dp[0...i-1]的值，则状态转移方程为：

dp[i]=max(dp[j])+1,其中0≤j<i且num[j]<num[i]

　　即考虑往 dp[0…i−1] 中最长的上升子序列后面再加一个nums[i]。由于 dp[j]代表 nums[0…j] 中以 nums[j] 结尾的最长上升子序列，所以如果能从 dp[j]这个状态转移过来，那么 nums[i] 必然要大于 nums[j]，才能将 nums[i] 放在 nums[j] 后面以形成更长的上升子序列。

　　最后，整个数组的最长上升子序列即所有 dp[i]中的最大值。

LIS ​=max(dp[i]),其中0≤i<n

　　以下动画演示了该方法：

　　2、代码：

Java

public class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) {
            return 0;
        }
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0] = 1;
        int maxans = 1;
        for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
            int maxval = 0;
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[i] > nums[j]) {
                    maxval = Math.max(maxval, dp[j]);
                }
            }
            dp[i] = maxval + 1;
            maxans = Math.max(maxans, dp[i]);
        }
        return maxans;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n=(int)nums.size();
        if (n == 0) return 0;
        vector<int> dp(n, 0);
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            dp[i] = 1;
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                if (nums[j] < nums[i]) {
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
        }
        return *max_element(dp.begin(), dp.end());
    }
};

Python3

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
        if not nums:
            return 0
        dp = []
        for i in range(len(nums)):
            dp.append(1)
            for j in range(i):
                if nums[i] > nums[j]:
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
        return max(dp)

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence
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