Treap模板

Treap是一种自平衡二叉搜索树,Treap=Tree+Heap.

在一棵二叉搜索树中插入元素的时候,位置是惟一的,但是由于插入的顺序不同,树的形状会不同.在树上进行操作的复杂度取决于树的深度,所以树越矮胖越好,我们称能保持矮胖身材的树为平衡树.最理想的是完全二叉树,此时的复杂度为O(logn),但是由于无法控制插入元素的顺序,所以无法准确地控制树的形状.但是随机顺序插入的树基本上是平衡树.Treap利用的就是类似的原理.给每一个点带一个优先级(rank),类比Heap,保证优先级小(或大)的点在上面,这样插入元素时,新元素的优先级不同,Heap的调整方式就不同,最终树的形态就不同.那么在每次插入时都随机一个优先级,这样相当于每次都随机改变树的形状,以达到和随机插入元素相同的效果.这样的Treap可以称作自平衡二叉树,每次操作的复杂度约为O(logn).

下面是代码实现:

1.rotate函数是用LRJ书上的形式,其中o点表示的是当前子树的根节点,所以需要引用.每次旋转之后相当于改变了新建了一个新的根节点,并将新的子树连好,来替代原先的根节点.这样的操作对子树上面的点是没有影响的,所以插入可以写成递归的形式.但这样的旋转操作的对象是某个子树的根节点,处理的时一个子树,而不是具体的一个点,所以不方便对一个具体的点进行连续的旋转操作,而插入结束后还要判断优先级,可能会将某一个点连旋转多次,用非递归的写法就难以实现了.

2.remove函数有两种算法:

(1).如果当前节点只有一个或没有子树,就直接删除当前点,并用惟一的子树(或null)替换当前点即可.如果当前点两个子树都存在,把优先级小(或大)的子节点转上去,再在另一个子树中递归删除当前点.

(2).如果当前点没有子树,直接删除,否则就将优先级小的子节点转到上面,再在另一棵子树中递归删除当前点.

我一般用第一种.

3.rank,kth,pre,suc函数都可以写成递归或非递归的版本.

递归:

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int oo=~0u>>1;

struct Treap{
    struct node{
        node* ch[2];
        int v,s,r,c;
        node(int v,node* t):v(v){ ch[0]=ch[1]=t; r=rand(); s=c=1; }
        void push_up(){ s=ch[0]->s+ch[1]->s+c; }
    }*root,*null;
    Treap(){
        null=new node(0,NULL);
        null->s=null->c=0;
        null->r=oo;
        root=null;
    }
    void rotate(node* &o,bool d){
        node* k=o->ch[!d]; o->ch[!d]=k->ch[d]; k->ch[d]=o;
        o->push_up(); k->push_up(); o=k;
    }
    void insert(node* &o,int x){
        if(o==null) o=new node(x,null);
        else{
            if(o->v==x) o->c++,o->s++;
            else{
                bool d=x>o->v;
                insert(o->ch[d],x);
                if(o->ch[d]<o) rotate(o,!d);
                o->push_up();
            }
        }
    }
    void remove(node* &o,int x){
        if(o->v==x){
            if(o->c>1){
                o->c--;
                o->push_up();
            }
            else{
                if(o->ch[0]!=null&&o->ch[1]!=null){
                    bool d=o->ch[0]->r<o->ch[1]->r;
                    rotate(o,d); remove(o->ch[d],x);
                    o->push_up();
                }
                else{
                    node* u=o;
                    if(o->ch[0]==null) o=o->ch[1];
                    else o=o->ch[0];
                    delete u;
                }
            }
        }
        else{
            bool d=x>o->v;
            remove(o->ch[d],x);
        }
    }
    int kth(node* o,int k){
        int s=o->ch[0]->s+o->c;
        if(k>o->ch[0]->s&&k<=s) return o->v;
        if(k<=o->ch[0]->s) return kth(o->ch[0],k);
        else return kth(o->ch[1],k-s);
    }
    int rank(node* o,int x){
        int s=o->ch[0]->s+o->v;
        if(x==o->v) return o->ch[0]->s+1;
        if(x<o->v) return rank(o->ch[0],x);
        else return s+rank(o->ch[1],x);
    }
    int pre(node* o,int x){
        if(o==null) return -oo;
        if(o->v<x) return max(o->v,pre(o->ch[1],x));
        else return pre(o->ch[0],x);
    }
    int suc(node* o,int x){
        if(o==null) return oo;
        if(o->v>x) return min(o->v,suc(o->ch[0],x));
        else return suc(o->ch[1],x);
    }
}tree;

int main(){
    return 0;
}

非递归:

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int oo=~0u>>1;

struct Treap{
    struct node{
        node* ch[2];
        int v,s,r,c;
        node(int v,node* t):v(v){ ch[0]=ch[1]=t; r=rand(); s=c=1; }
        void push_up(){ s=ch[0]->s+ch[1]->s+c; }
    }*root,*null;
    Treap(){
        null=new node(0,NULL);
        null->s=null->c=0;
        null->r=oo;
        root=null;
    }
    void rotate(node* &o,bool d){
        node* k=o->ch[!d]; o->ch[!d]=k->ch[d]; k->ch[d]=o;
        o->push_up(); k->push_up(); o=k;
    }
    void insert(node* &o,int x){
        if(o==null) o=new node(x,null);
        else{
            if(o->v==x) o->c++,o->s++;
            else{
                bool d=x>o->v;
                insert(o->ch[d],x);
                if(o->ch[d]<o) rotate(o,!d);
                o->push_up();
            }
        }
    }
    void remove(node* &o,int x){
        if(o->v==x){
            if(o->c>1){
                o->c--;
                o->push_up();
            }
            else{
                if(o->ch[0]!=null&&o->ch[1]!=null){
                    bool d=o->ch[0]->r<o->ch[1]->r;
                    rotate(o,d); remove(o->ch[d],x);
                    o->push_up();
                }
                else{
                    node* u=o;
                    if(o->ch[0]==null) o=o->ch[1];
                    else o=o->ch[0];
                    delete u;
                }
            }
        }
        else{
            bool d=x>o->v;
            remove(o->ch[d],x);
        }
    }
    int kth(int k){
        for(node* t=root;t!=null;){
            int s=t->ch[0]->s+t->c;
            if(k>t->ch[0]->s&&k<=s) return t->v;
            else if(k>s) t=t->ch[1], k-=s;
            else t=t->ch[0];
        }
    }
    int rank(int x){
        int ret=0;
        for(node* t=root;t!=null;){
            int s=t->ch[0]->s+t->c;
            if(x>t->v) ret+=s, t=t->ch[1];
            else t=t->ch[0];
        }
        return ret;
    }
    int pre(int x){
        int ret=-oo;
        for(node*t=root;t!=null;){
            if(t->v<x) ret=t->v, t=t->ch[1];
            else t=t->ch[0];
        }
        return ret;
    }
    int suc(int x){
        int ret=oo;
        for(node* t=root;t!=null;){
            if(t->v>x) ret=t->v, t=t->ch[0];
            else t=t->ch[1];
        }
        return ret;
    }
}tree;

int main(){
    return 0;
}