Numpy | 线性代数

NumPy 提供了线性代数函数库 linalg，该库包含了线性代数所需的所有功能。

函数	描述
dot	两个数组的点积，即元素对应相乘。
vdot	两个向量的点积
inner	两个数组的内积
matmul	两个数组的矩阵积
determinant	数组的行列式
solve	求解线性矩阵方程
inv	计算矩阵的乘法逆矩阵

numpy.dot()

对于两个一维的数组，计算的是这两个数组对应下标元素的乘积和(数学上称之为内积)；

对于二维数组，计算的是两个数组的矩阵乘积；

对于多维数组，它的通用计算公式如下，即结果数组中的每个元素都是：数组a的最后一维上的所有元素与数组b的倒数第二位上的所有元素的乘积和： dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] * b[k,:,m])。

numpy.dot(a, b, out=None)

参数说明：

• a : ndarray 数组
• b : ndarray 数组
• out : ndarray, 可选，用来保存dot()的计算结果

import numpy.matlib
import numpy as np
 
a = np.array([[1,2],[3,4]])
b = np.array([[11,12],[13,14]])
print(np.dot(a,b))

输出结果为：

[[37  40] 
 [85  92]]

计算式为：

[[1*11+2*13, 1*12+2*14],[3*11+4*13, 3*12+4*14]]

numpy.vdot()

numpy.vdot() 函数是两个向量的点积。 如果第一个参数是复数，那么它的共轭复数会用于计算。 如果参数是多维数组，它会被展开。

import numpy as np 
 
a = np.array([[1,2],[3,4]]) 
b = np.array([[11,12],[13,14]]) 
 
# vdot 将数组展开计算内积
print (np.vdot(a,b))

输出结果为：

130

计算式为：

1*11 + 2*12 + 3*13 + 4*14 = 130

numpy.inner()

numpy.inner() 函数返回一维数组的向量内积。对于更高的维度，它返回最后一个轴上的和的乘积。

import numpy as np 
 
print (np.inner(np.array([1,2,3]),np.array([0,1,0])))
# 等价于 1*0+2*1+3*0

输出结果为：

2

多维数组实例

import numpy as np

a = np.array([[1, 2], [3, 4]])

print('数组 a：')
print(a)
print('
')

b = np.array([[11, 12], [13, 14]])
print('数组 b：')
print(b)
print('
')

print('内积：')
print(np.inner(a, b))

输出结果为：

数组 a：
[[1 2]
[3 4]]

数组 b：
[[11 12]
[13 14]]

内积：
[[35 41]
[81 95]]

内积计算式为：

1*11+2*12, 1*13+2*14 
3*11+4*12, 3*13+4*14

numpy.matmul

numpy.matmul 函数返回两个数组的矩阵乘积。 虽然它返回二维数组的正常乘积，但如果任一参数的维数大于2，则将其视为存在于最后两个索引的矩阵的栈，并进行相应广播。

另一方面，如果任一参数是一维数组，则通过在其维度上附加 1 来将其提升为矩阵，并在乘法之后被去除。

对于二维数组，它就是矩阵乘法：

import numpy.matlib 
import numpy as np 
 
a = [[1,0],[0,1]] 
b = [[4,1],[2,2]] 
print (np.matmul(a,b))

输出结果为：

[[4  1] 
 [2  2]]

二维和一维运算：

import numpy.matlib 
import numpy as np 
 
a = [[1,0],[0,1]] 
b = [1,2] 
print (np.matmul(a,b))
print (np.matmul(b,a))

输出结果为：

[1  2] 
[1  2]

维度大于二的数组 ：

import numpy.matlib 
import numpy as np 
 
a = np.arange(8).reshape(2,2,2) 
b = np.arange(4).reshape(2,2) 
print (np.matmul(a,b))

输出结果为：

[[[ 2  3]
  [ 6 11]]

 [[10 19]
  [14 27]]]

numpy.linalg.det()

numpy.linalg.det() 函数计算输入矩阵的行列式。

行列式在线性代数中是非常有用的值。 它从方阵的对角元素计算。 对于 2×2 矩阵，它是左上和右下元素的乘积与其他两个的乘积的差。

换句话说，对于矩阵[[a，b]，[c，d]]，行列式计算为 ad-bc。 较大的方阵被认为是 2×2 矩阵的组合。

import numpy as np
a = np.array([[1,2], [3,4]]) 
 
print (np.linalg.det(a))

输出结果为：

-2.0

import numpy as np
 
b = np.array([[6,1,1], [4, -2, 5], [2,8,7]]) 
print (b)
print (np.linalg.det(b))
print (6*(-2*7 - 5*8) - 1*(4*7 - 5*2) + 1*(4*8 - -2*2))

输出结果为：

[[ 6  1  1]
 [ 4 -2  5]
 [ 2  8  7]]
-306.0
-306

numpy.linalg.solve()

numpy.linalg.solve() 函数给出了矩阵形式的线性方程的解。

考虑以下线性方程：

x + y + z = 6

2y + 5z = -4

2x + 5y - z = 27

可以使用矩阵表示为：

如果矩阵成为A、X和B，方程变为：

AX = B

或

X = A^(-1)B

numpy.linalg.inv()

numpy.linalg.inv() 函数计算矩阵的乘法逆矩阵。

逆矩阵（inverse matrix）：设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。

import numpy as np 
 
x = np.array([[1,2],[3,4]]) 
y = np.linalg.inv(x) 

print (x)
print (y)
print (np.dot(x,y))

输出结果为：

[[1 2]
 [3 4]]
[[-2.   1. ]
 [ 1.5 -0.5]]
[[1.0000000e+00 0.0000000e+00]
 [8.8817842e-16 1.0000000e+00]]

现在创建一个矩阵A的逆矩阵:

import numpy as np

a = np.array([[1, 1, 1], [0, 2, 5], [2, 5, -1]])

print('数组 a：')
print(a)
print('
')

ainv = np.linalg.inv(a)
print('a 的逆：')
print(ainv)
print('
')

print('矩阵 b：')
b = np.array([[6], [-4], [27]])
print(b)
print('
')

print('计算：A^(-1)B：')
x = np.linalg.solve(a, b)
print(x)

# 这就是线性方向 x = 5, y = 3, z = -2 的解

输出结果为：

数组 a：
[[ 1 1 1]
[ 0 2 5]
[ 2 5 -1]]

a 的逆：
[[ 1.28571429 -0.28571429 -0.14285714]
[-0.47619048 0.14285714 0.23809524]
[ 0.19047619 0.14285714 -0.0952381 ]]

矩阵 b：
[[ 6]
[-4]
[27]]

计算：A^(-1)B：
[[ 5.]
[ 3.]
[-2.]]

结果也可以使用以下函数获取：

x = np.dot(ainv,b)