次短路问题

1.次短路问题

次短路问题和最短路问题类似，我们可以想到次短路由什么转移而来？对于当前一个点，其次短路只可能由两种情况转移而来：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<queue>

using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=1e5+10;
typedef pair<int,int> pii;
struct Edge
{
    int nex,to,val;
}edge[maxn<<1];
int dis[maxn],dis2[maxn],head[maxn],tot=0;  //dis2[]保存次短路
int n,m;
void init()
{
    tot=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
}
void add(int from,int to,int val)
{
	edge[++tot].to=to;
    edge[tot].val=val;
    edge[tot].nex=head[from];
    head[from]=tot;
}
void solve(int s)
{
	priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii> > q;	//压入最短或次短距离
	memset(dis,inf,sizeof(dis));
	memset(dis2,inf,sizeof(dis2));
	dis[s]=0;
	q.push(make_pair(0,s));           //first是权值second是点
	while(!q.empty())
	{
		int v=q.top().second;       
        int d=q.top().first;
        q.pop();
		if(dis2[v]<d)  continue;     //取出的不是次短距离，抛弃
		for(int i=head[v];i!=-1;i=edge[i].nex)
		{
			int d2=d+edge[i].val;       //d为原点到i的最短距离或次短距离
			if(dis[edge[i].to]>d2)     //更新最短距离
			{
				swap(dis[edge[i].to],d2);
				q.push(make_pair(dis[edge[i].to],edge[i].to));
			}
			if(dis2[edge[i].to]>d2&&dis[edge[i].to]<d2) //更新次短距离
			{
				dis2[edge[i].to]=d2;
				q.push(make_pair(dis2[edge[i].to],edge[i].to));
			}
		}
        /*
        if(dis[edge[i].to]>d2)     //更新最短距离
			{
				dis2[edge[i].to]=dis[edge[i].to];
                dis[edge[i].to]=d2;
				q.push(make_pair(dis2[edge[i].to],edge[i].to));
				q.push(make_pair(d2,edge[i].to));
			}
			if(dis2[edge[i].to]>d2&&dis[edge[i].to]<d2) //更新次短距离
			{
				dis2[edge[i].to]=d2;
				q.push(make_pair(dis2[edge[i].to],edge[i].to));
			}
        */
	}
}

int main()
{
    init();
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int a,b,c;
        scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
        add(a,b,c);
        add(b,a,c);
    }
    solve(1);
    printf("%d
",dis2[n]);
}

【题意】：求最短路以及次短路的条数（次短路必须只比最短路大一个单位）

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=1e5+10;
int dist[maxn][2],cnt[maxn][2],head[maxn];	//数组0表示最短，1表示次短
bool vis[maxn][2];
int n,m,tot;
struct Edge
{
    int nex,to,val;
} edge[maxn<<4];
void addedge(int from,int to,int val)
{
    edge[++tot].to=to;
    edge[tot].val=val;
    edge[tot].nex=head[from];
    head[from]=tot;
}
void dijkstra(int s)
{
    int pos,minn,k;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        dist[i][0]=dist[i][1]=inf;
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    memset(cnt,0,sizeof(cnt));
    cnt[s][0]=1;
    dist[s][0]=0;
    for(int i=1;i<=tot;i++)                
    {
        pos=-1;
        minn=inf;
        for(int j=1; j<=n; j++)
            if(!vis[j][0]&&minn>dist[j][0])         //找最短路,每个节点先更新最短，然后次短
            {
                k=0;
                minn=dist[j][0];
                pos=j;
            }
            else if(!vis[j][1]&&minn>dist[j][1])    //找次短路
            {
                k=1;
                minn=dist[j][1];
                pos=j;
            }
        if(pos==-1)     break;//如果找不到最短或者次短就结束
        vis[pos][k]=1;
        for(int j=head[pos];j!=-1;j=edge[j].nex)
        {
            int v=edge[j].to;
            int d=dist[pos][k]+edge[j].val;
            if(d<dist[v][0])                  //更新最短路长度及条数
            {
                dist[v][1]=dist[v][0];          
                cnt[v][1]=cnt[v][0];            
                dist[v][0]=d;                 
                cnt[v][0]=cnt[pos][k];          
            }
            else if(d==dist[v][0])            
                cnt[v][0]+=cnt[pos][k];
            else if(d<dist[v][1])             //更新次短路
            {
                dist[v][1]=d;
                cnt[v][1]=cnt[pos][k];
            }
            else if(d==dist[v][1])
                cnt[v][1]+=cnt[pos][k];
        }
    }
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        tot=0;
        memset(head,-1,sizeof(head));
        scanf("%d%d",&n,&m);
        int a,b,c,s,t;
        for(int i=1; i<=m; i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            addedge(a,b,c);
        }
        scanf("%d%d",&s,&t);
        dijkstra(s);
        int ans=cnt[t][0];
        if(dist[t][1]==dist[t][0]+1)
            ans+=cnt[t][1];
        printf("%d
",ans);
    }
}

次短路问题也可以k短路用算法来解决。