反素数

反素数

问题描述:

对于任何正整数x,起约数的个数记做g(x).例如g(1)=1,g(6)=4.

定义：如果某个正整数x满足:对于任意i(0<i<x),都有g(i)<g(x),则称x为反素数.

现在给一个N,求出不超过N的最大的反素数.

比如:输入1000 输出 840

思维过程:

求[1..N]中最大的反素数–>求约数最多的数

如果求约数的个数 756=2^2*3^3*7^1

(2+1)*(3+1)*(1+1)=24

基于上述结论,给出算法:按照质因数大小递增顺序搜索每一个质因子,枚举每一个质因子

为了剪枝:

性质一:一个反素数的质因子必然是从2开始连续的质数.

因为最多只需要10个素数构造:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29

性质二:p=2^t1*3^t2*5^t3*7^t4…..必然t1>=t2>=t3>=….

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2	typedef __int64 INT;

3	INT bestNum;   //约数最多的数

4	INT bestSum;   //约数最多的数的约数个数

5	const int M=1000; //反素数的个数

6	INT n=500000;//求n以内的所有的反素数

7	INT rprim[M][2];

8	//2*3*5*7*11*13*17>n，所以只需考虑到17即可

9	INT prim[14]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};

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11	//当前走到num这个数，接着用第k个素数，num的约数个数为sum，

12	//第k个素数的个数上限为limit

13	void getNum(INT num,INT k,INT sum,INT limit)  {

14	if(num>n)return;

15	if(sum>bestSum){

16	bestSum = sum;

17	bestNum = num;

18	}else if(sum == bestSum && num < bestNum){  //约数个数一样时，取小数

19	bestNum = num;

20

}

21	if(k>=7) return; //只需考虑到素数17,即prim[6]

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23	for(INT i=1,p=1;i<=limit;i++){   //素数k取i个

24	p*=prim[k];

25	getNum(num*p,k+1,sum*(i+1),i);

26

}

27

}

28

29	INT log2(INT n){   //求大于等于log2（n）的最小整数

30	INT i = 0;

31	INT p = 1;

32	while(p<n){

33

p*=2;

34

i++;

35

}

36

return i;

37

}

38

39	int getrprim(){//反素数的个数

40	int i = 0;

41	while(n>0){

42	bestNum = 1;

43	bestSum = 1;

44	getNum(1,0,1,log2(n));

45	n = bestNum - 1;

46	rprim[i][0]=bestNum;

47	rprim[i][1]=bestSum;

48

i++;

49

}

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return i;

51

}