hdu2643 Rank

题面

题目链接

hdu-2643

题目大意

有 n 位选手参加比赛，每个选手有一个排名

排名可能出现并列的情况，问一共有多少种排名情况

解题思路

第二类Stirling

先把排名当做集合，排名为 1 的人数即放入集合 1 的人数

再把集合等效化，即把集合 1 和集合 2 看作是完全相同的集合

那么此时题目就可以转换为将 n 个物品放入若干个完全相同的集合的方案数

可得递推式 dp[i][j] 表示前 i 个物品用了 j 个完全相同的集合的方案数

其中 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j] * j : 

①、前 i - 1 个物品构成了 j - 1 个集合，第 i 个物品构成第 j 个集合

②、前 i - 1 个物品构成了 j 个集合，则第 i 个物品可以放入 1 ~ j 个集合

那么 ans =  ∑ dp[n][i] 

然而这只是集合等效化后的答案，实际上当我们使用的 i 个集合应该是完全不同的

所以为了恢复等效化我们还需要乘上 i 的全排列即 i!

那么现在 ans = ∑ dp[n][i] * i!

AC_Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10 , mod = 20090126;
int dp[N][N] , fac[N];
void init()
{
    fac[0] = 1 , dp[1][1] = 1 , dp[0][0] = 1;
    for(int i = 1 ; i <= 100 ; i ++)
    {
        fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
        for(int j = 1 ; j <= i ; j ++)
        {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] * j + dp[i - 1][j - 1];
            dp[i][j] %= mod;
        }
    }
}
signed main()
{
    init();
    int t ;
    cin >> t ;
    while(t --)
    {
        int n , ans = 0;
        cin >> n ; 
        for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) ans += dp[n][i] * fac[i] , ans %= mod;
        cout << ans << '
';
    }
    return 0;
}