看了一些别人的博客，发现里面涉及到的公式没有证明，于是就打算自己写一篇比较详细的讲解。
先看两个引理及其证明(建议把证明搞懂)。
PS：以下图片均为原作者用wps制作，如想使用请附上作者博客链接，谢谢O(∩_∩)O。
看完了上面的引理，那就可以正式开始Miller-Rabin算法的讲解了。
背景：
素性测试(即测试给定的数是否为素数)是近代密码学中的一个非常重要的课题。虽然Wilson定理(对于给定的正整数n，n是素数的充要条件为)给出了一个数是素数的充要条件，但根据它来素性测试所需的计算量太大，无法实现对较大整数的测试。目前，尽管高效的确定性的素性算法尚未找到，但已有一些随机算法可用于素性测试及大整数的因数分解。下面描述的Miller-Rabin素性测试算法就是一个这样的算法。
算法：
首先要知道费马定理只是n是素数的必要条件。即费马定理不成立，n一定是合数；费马定理成立，n可能是素数。接下来请看Miller-Rabin算法的分析过程。
附上代码模板：
// 18位素数：154590409516822759
// 19位素数：2305843009213693951 (梅森素数)
// 19位素数：4384957924686954497
LL prime[6] = {2, 3, 5, 233, 331};
LL qmul(LL x, LL y, LL mod) { // 乘法防止溢出， 如果p * p不爆LL的话可以直接乘； O(1)乘法或者转化成二进制加法
return (x * y - (long long)(x / (long double)mod * y + 1e-3) *mod + mod) % mod;
/*
LL ret = 0;
while(y) {
if(y & 1)
ret = (ret + x) % mod;
x = x * 2 % mod;
y >>= 1;
}
return ret;
*/
}
LL qpow(LL a, LL n, LL mod) {
LL ret = 1;
while(n) {
if(n & 1) ret = qmul(ret, a, mod);
a = qmul(a, a, mod);
n >>= 1;
}
return ret;
}
bool Miller_Rabin(LL p) {
if(p < 2) return 0;
if(p != 2 && p % 2 == 0) return 0;
LL s = p - 1;
while(! (s & 1)) s >>= 1;
for(int i = 0; i < 5; ++i) {
if(p == prime[i]) return 1;
LL t = s, m = qpow(prime[i], s, p);
while(t != p - 1 && m != 1 && m != p - 1) {
m = qmul(m, m, p);
t <<= 1;
}
if(m != p - 1 && !(t & 1)) return 0;
}
return 1;
}
原文链接：算法讲解
模板链接：模板链接