卡特兰数

卡特兰数，一个常常出现在排列组合公式中的数列。

第n个卡特兰数C_n满足以下递推关系：

 

 

 

其实际应用的实际问题有：

1.  在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?（C_n）

2. 将一个凸多边形区域分成三角形区域(划分线不交叉)的方法数?

3. 一个栈的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

4. 矩阵连乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？

5. 给定N个节点，能构成多少种不同的二叉搜索树？

6.有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

7.一位大城市的律师在他住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果他从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

 

 

 

结论区：

 

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足以下表达式：

1.   f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + f(2)*f(n-3)......+f(n-1)*f(0)。

2.   f(n) = f(n-1)*(4*n-2) / (n+1)。

3.   f(n) = C(2n,n)/(n+1)。

4.   f(n) = C(2n,n) - C(2n,n-1)。

 

 

证明区：

（以进出栈为例）

对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’，出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。

在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。

不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。

反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。

因而不合要求的2n位数与n＋1个0，n－1个1组成的排列一一对应。

显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出 输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=1/(n+1)*c(2n,n)。

代码区：

取模版本的：

const int C_maxn = 1e4 + 10;
LL CatalanNum[C_maxn];
LL inv[C_maxn];
inline void Catalan_Mod(int N, LL mod)
{
    inv[1] = 1;
    for(int i=2; i<=N+1; i++)///线性预处理 1 ~ N 关于 mod 的逆元
        inv[i] = (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
 
    CatalanNum[0] = CatalanNum[1] = 1;
 
    for(int i=2; i<=N; i++)
        CatalanNum[i] = CatalanNum[i-1] * (4 * i - 2) %mod * inv[i+1] %mod;
}

不取模版本的：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAXN 40
long long Catalan[MAXN];
long long CatalanCalc2()
{
    Catalan[0]=1;
    Catalan[1]=1;
    for(long long i = 2; i < MAXN; i++)
    {
        Catalan[i] = Catalan[i-1] * (4 * i - 2) / (i + 1);
    }
}
 
int main()
{
    int n;
    CatalanCalc2();
    while (scanf("%d",&n)!=EOF&&printf("%lld
",Catalan[n]));
    return 0;
}