Lucas定理和拓展Lucas定理

Lucas定理用于求C(n,m)%p，（p为质数），而拓展Lucas定理中，p不一定为质数。

Lucas定理有两种形式，在线算法和离线打表，在线算法适用于p经常改变 或 查询次数较少 的情况，其他情况下用离线打表。

首先是一个在线算法。

ll pow(ll a, ll b, ll m)
{
    ll ans = 1;
    a %= m;
    while(b)
    {
        if(b & 1)ans = (ans % m) * (a % m) % m;
        b /= 2;
        a = (a % m) * (a % m) % m;
    }
    ans %= m;
    return ans;
}
ll inv(ll x, ll p)//x关于p的逆元，p为素数
{
    return pow(x, p - 2, p);
}
ll C(ll n, ll m, ll p)//组合数C(n, m) % p
{
    if(m > n)return 0;
    ll up = 1, down = 1;//分子分母;
    for(int i = n - m + 1; i <= n; i++)up = up * i % p;
    for(int i = 1; i <= m; i++)down = down * i % p;
    return up * inv(down, p) % p;
}
ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
{
    if(m == 0)return 1;
    return C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
}

然后放一个离线打表的。

const int maxn = 1e5 + 10;
ll fac[maxn];//阶乘打表
void init(ll p)//此处的p应该小于1e5，这样Lucas定理才适用
{
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= p; i++)
        fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
}
ll pow(ll a, ll b, ll m)
{
    ll ans = 1;
    a %= m;
    while(b)
    {
        if(b & 1)ans = (ans % m) * (a % m) % m;
        b /= 2;
        a = (a % m) * (a % m) % m;
    }
    ans %= m;
    return ans;
}
ll inv(ll x, ll p)//x关于p的逆元，p为素数
{
    return pow(x, p - 2, p);
}
ll C(ll n, ll m, ll p)//组合数C(n, m) % p
{
    if(m > n)return 0;
    return fac[n] * inv(fac[m] * fac[n - m], p) % p;
}
ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
{
    if(m == 0)return 1;
    return C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
}

但是除了这个我还有一个板子，感觉上应该更快，也没发现什么错的，也放上来吧。

#include <bits/stdc++.h>
#include<stdint.h>
using namespace std;
#define int long long
#define scan(n) scanf("%lld", &(n))
#define scann(n, m) scanf("%lld%lld", &(n), &(m))
#define scannn(a, b, c) scanf("%lld%lld%lld", &(a), &(b), &(c))
#define prin(n) printf("%lld", (n))
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define ms(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define fo(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); i++)
#define ro(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); i--)
#define dbg(args...) do {cout << #args << " : "<< args << endl;} 
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e5+100;
const int mod=1e9+7;
int f[maxn],inv[maxn];
int qpow(int a,int b){
    int res=1;
    while(b){
        if(b&1)res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
void init(){
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=maxn-1;i++)f[i]=f[i-1]*i%mod;
    inv[maxn-1]=qpow(f[maxn-1],mod-2);
    for(int i=maxn-2;i>=0;i--)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
int C(int n,int m){
    return f[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int32_t main() {
    int f,w,h;
    cin>>f>>w>>h;
    int fm=0,fz=0;
    init();
    for(int i=1;i<=w;i++){
        fm+=(C(w-1,i-1)*C(f+1,i))%mod;
        fm%=mod;
    }
    for(int i=1;i<=w/(h+1);i++){
        fz=fz+C(w-i*h-1,i-1)*C(f+1,i)%mod;
        fz%=mod;
    }
    int ans=fz*qpow(fm,mod-2)%mod;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

拓展Lucas定理，只有在线算法。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
ll pow(ll a, ll b, ll m)
{
    ll ans = 1;
    a %= m;
    while(b)
    {
        if(b & 1)ans = (ans % m) * (a % m) % m;
        b /= 2;
        a = (a % m) * (a % m) % m;
    }
    ans %= m;
    return ans;
}
ll extgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y)
//求解ax+by=gcd(a, b)
//返回值为gcd(a, b)
{
    ll d = a;
    if(b)
    {
        d = extgcd(b, a % b, y, x);
        y -= (a / b) * x;
    }
    else x = 1, y = 0;
    return d;
}
ll mod_inverse(ll a, ll m)
//求解a关于模上m的逆元
//返回-1表示逆元不存在
{
    ll x, y;
    ll d = extgcd(a, m, x, y);
    return d == 1 ? (m + x % m) % m : -1;
}

ll Mul(ll n, ll pi, ll pk)//计算n! mod pk的部分值  pk为pi的ki次方
//算出的答案不包括pi的幂的那一部分
{
    if(!n)return 1;
    ll ans = 1;
    if(n / pk)
    {
        for(ll i = 2; i <= pk; i++) //求出循环节乘积
            if(i % pi)ans = ans * i % pk;
        ans = pow(ans, n / pk, pk); //循环节次数为n / pk
    }
    for(ll i = 2; i <= n % pk; i++)
        if(i % pi)ans = ans * i % pk;
    return ans * Mul(n / pi, pi, pk) % pk;//递归求解
}

ll C(ll n, ll m, ll p, ll pi, ll pk)//计算组合数C(n, m) mod pk的值 pk为pi的ki次方
{
    if(m > n)return 0;
    ll a = Mul(n, pi, pk), b = Mul(m, pi, pk), c = Mul(n - m, pi, pk);
    ll k = 0, ans;//k为pi的幂值
    for(ll i = n; i; i /= pi)k += i / pi;
    for(ll i = m; i; i /= pi)k -= i / pi;
    for(ll i = n - m; i; i /= pi)k -= i / pi;
    ans = a * mod_inverse(b, pk) % pk * mod_inverse(c, pk) % pk * pow(pi, k, pk) % pk;//ans就是n! mod pk的值
    ans = ans * (p / pk) % p * mod_inverse(p / pk, pk) % p;//此时用剩余定理合并解
    return ans;
}

ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
{
    ll x = p;
    ll ans = 0;
    for(ll i = 2; i <= p; i++)
    {
        if(x % i == 0)
        {
            ll pk = 1;
            while(x % i == 0)pk *= i, x /= i;
            ans = (ans + C(n, m, p, i, pk)) % p;
        }
    }
    return ans;
}

int main()
{
    ll n, m, p;
    while(cin >> n >> m >> p)
    {
        cout<<Lucas(n, m, p)<<endl;
    }
    return 0;
}