• 求逆元的史上最好方法总结


    简单的来说,已知a和m,求a的逆元(如果存在的话等于1/a mod m)。

    现分几种情况讨论。

    1. m是素数(a<m)。

      a的逆元必然存在。两种方法求逆元,在线用拓展欧几里得算,打表用递推。

      不用费马小定理在线算逆元是因为拓展欧几里得复杂度O(logn),费马小定理复杂度O(log mod),后者比前者慢一些。

     1 #include<bits/stdc++.h>
     2 #define ll long long 
     3 #define scan(i) scanf("%d",&i)
     4 #define f(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) 
     5 #define pf printf
     6 using namespace std;
     7 ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)//扩展欧几里得算法 
     8 {
     9     if(b==0)
    10     {
    11         x=1,y=0;
    12         return a;
    13     }
    14     ll ret=exgcd(b,a%b,y,x);
    15     y-=a/b*x;
    16     return ret;
    17 }
    18 ll getinv(int a,int mod)//求a在mod下的逆元,不存在逆元返回-1 
    19 {
    20     ll x,y;
    21     ll d=exgcd(a,mod,x,y);
    22     return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1;
    23 }
    24 int main(){
    25     cout<<getinv(3,7);
    26     return 0;
    27 } 
     1 #include<bits/stdc++.h>
     2 #define ll long long 
     3 #define scan(i) scanf("%d",&i)
     4 #define f(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) 
     5 #define pf printf
     6 using namespace std;
     7 const int M=10000;
     8 ll inv[M+5];
     9 void getInv(ll mod)//离线打表求逆元 
    10 {
    11     inv[1]=1;
    12     for(int i=2;i<mod;i++)
    13         inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    14 }
    15 int main(){
    16     getInv(7);
    17     cout<<inv[3];
    18     return 0;
    19 } 

    2. m不是素数

      当gcd(a,m)!=1时,a的逆元不存在。其他情况下,打表就不行了,只能在线算了。具体方法是用上面的拓展欧几里得求,复杂度O(logn),下面贴个费马小定理的板子吧~~

    ll qkpow(ll a,ll p,ll mod)
    {
        ll t=1,tt=a%mod;
        while(p)
        {
            if(p&1)t=t*tt%mod;
            tt=tt*tt%mod;
            p>>=1;
        }
        return t;
    }
    ll getInv(ll a,ll mod)
    {
        return qkpow(a,mod-2,mod);//这里本来该放的是欧拉函数,可以详见本人的其他博客~
    }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/St-Lovaer/p/11750047.html
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