9.4 关系的闭包

9.4 关系的闭包

闭包的定义:

>关系R对于性质P的闭包，是加入最小数量的序偶，使得R恰好符合性质P所得到的集合 >R的闭包R₁具有如下3个特点: >①. R₁ 包含 R >②. R₁具有性质P >③. 如果R₂具有性质P且R₂包含R， 那么R₂包含R₁

就R的有向图而言:

1. 找其自反闭包(reflexive closure)

添加循环/闭环

2. 找其对称闭包(symmetric closure)

沿相反方向添加弧线(箭头)

3. 找其传递闭包(transitive closure)

如果a到b连通， 那么就添加从a到b的弧线(箭头)

自反闭包(reflexive closure)
定理:R是定义在A上的关系，那么R的自反闭包r(R) = R∪△
如何获得？

①. 在R的有向图的所有顶点上添加闭环
②. 令R的邻接矩阵的对角线上全为1

对称闭包(symmetric closure)

定理①:R是定义在A上的关系，那么R的对称闭包s(R) = R∪R^-1
NOTE: R^-1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R}
NOTE: R^-1的邻接矩阵是R的邻接矩阵的转置，
即: M_R^T = M_R^-1

定理②:R是对称的，当且仅当 R = R^-1
NOTE:在对称关系的有向图中，用无向的边来代替弧线(箭头)

路径(Paths)

假设R为定义在A上的关系，则R从a到b，长度为n的路径可表示为以a为起始点，b为终点的一个有限序列π:
a, x₁, x₂, ..., x_n-1, b;
其中,满足:a R x₁, x₁ R x₂, ..., x_n-1 R b

例:

一些重要定义:

• 环(cycle):

一条起始点和终点为相同顶点的路径称为:环(cycle)

• Rⁿ:

x Rⁿ y表示，在R中存在一条或多条从x到y的路径

• 连通关系(connectivity relation) R^*

R^*包含的序偶对(a, b)， 其中在R中至少存在一条从a到b的路径

例:

一些重要定理:

1. 如果R是定义在A上的关系，那么有:
   
   其中，⊙表示矩阵布尔乘法

证明:

2. 当n>=2时，有:
   

证明:科学归纳法(略)

连通关系(The connectivity relation)

准备

• 路径的合成

令:
π₁: a, x₁, x₂, … , x_n-1, b
π₂: b, y₁, y₂, … , y_m-1, c
则π₁与π₂合成后的路径为:
π₂ o π₁:a, x₁, x₂, … , x_n-1, b, y₁, y₂, … , y_m-, c

NOTE THE ORDER!!!(注意顺序)

• 传递闭包(Transitive closure)

①. 关系R的传递闭包是包含R的最小的传递关系。

②. R是传递的， 当且仅当，对于任何的n，均有Rⁿ ⊆ R(结论来自9.1)

③. 如果传递闭包存在一条从x到y的路径，那么一定有从x直接到y的弧线(箭头)

• 传递闭包里有用的一些结论：

①. If A ⊆ B and C ⊆ B, then (A∪C) ⊆ B.

②. If R ⊆ S and T ⊆ U then (RoT) ⊆ (SoU).

推论: If R ⊆ S then Rⁿ ⊆ Sⁿ

③. 如果R是传递的，那么Rⁿ也是传递的
只需证明:(Rⁿ)² = (R²)ⁿ ⊂ Rⁿ

④. 如果对于j>k, 有R^k = R^j， 那么对于某些n>=j, 有R^j+m = Rⁿ
除了R^j之外，我们无法得到任何新的关系

• 一个重要定理:

R为定义在A上的一个关系，那么R的闭包就等于R^*

PROOF：我们必须证明,R^∞

1). 是一个传递关系
2). 包含R
3). 是包含R的最小的传递关系

Proof of Part 1):

假设(x, y)和(y, z)都在R^*中，只需证(x, z)也在R^*中
由R^*定义知，一定存在m，n，使得(x, y)和(y, z)分别在R^m和Rⁿ中
又由复合定理，知：(x, z) ∈ RⁿoR^m = R^m+n ⊆ R^*
因此，R^*是传递的

Proof of Part 2):

显然.

Proof of Part 3):

最重要的结论:

• 如果集合A的维数 = n，即|A|=n， 那么对于定义在A上的关系R，有:
  

• 等价命题:对于k<=n<=m,有1)和2)同时成立

• 1). R^m ⊆ R^k
• 2). (a, b) ⊆ R^m → (a, b) ⊆ R^k

证明其实就是去掉环，此处略

沃舍尔算法(Warshall’s Algorithm)

需要知道:内部顶点(Interior vertices)

大致方法:

①. 将n个节点赋予顺序为{a₁, a₂,…, a_n}, 并定义W_k = [t_ij]表示存在从第i个节点到第j个节点且仅通过内部节点{a₁, a₂,…, a_k}这k个节点(这些节点可选可不选，但除此之外的节点都不能选)的路径连通，并记为“1”， 否则记为“0”
②. W₀ = 初始邻接矩阵M_R
③. 利用W_k-1来计算W_k
④. 得连通矩阵M_R^* = W_n

计算具体W_k的做法:

对于W_k中的t_ab
①. 如果W_k-1的s_ab == ‘1’，即仅利用{a₁, a₂,…, a_k-1}这k-1个点(当然包括第a和第b个顶点)就能使a连通到b，那么W_k的t_ab直接 = ‘1’
②. 如果W_k-1的s_ab == ‘0’， 那么要使仅用{a₁, a₂,…, a_k}这n个点从a连通到b， 则:
只需存在一个m(1 <= m <= k-1)，使得在W_k-1中，有：s_am == “1”并且s_mb == “1”(在W_k-1中，节点a到m连通，节点m到b连通， 那么在W_k中，节点a到b连通)

例：

核心代码：

for(int k = 1; k <= N; k++)
{
	for(int i = 1; i <= N; i++)
	{
		for(int j = 1; j <= N; j++)
		{
			if(W[k-1][i][j]=='1')
			{
				W[k][i][j] = 1;
			}
			else if(W[k-1][i][k]=='1'&&W[k-1][k][j]=='1')
			{
				W[k][i][j] = 1;
			}
		}
	}	
}

时间复杂度:O(n^3)
空间复杂度:O(n^3)

其实由于W[k]只与W[k-1]有关，可以只用二维数组来表示W[k-1]，然后更新W[k]的时候直接覆盖到这个数组即可将空间复杂度压缩成O(n^2)

实战:Cow Contest

思路:只需求以这些牛组成有向图的传递闭包(用连通矩阵表示)，再判断每个节点的入度+出度是否等于n-1，来判断每头牛能否确认排名

AC代码:

#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int n, m, a, b; //n头牛， m个关系
    scanf("%d %d",&n,&m);
    int W[n+1][n+1];
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            W[i][j] = 0;
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        scanf("%d %d",&a,&b);
        W[a][b] = 1;  //初始赋值W[0]
    }
    //这里即只需用一个二维数组表示W[k-1]，然后将W[k]覆盖到W[k-1]这个二维数组上，使得空间复杂度为:O(n^2)
    for(int k = 1; k <= n; k++)
    {
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= n; j++)
            {
                //if(W[i][j]==1) // 代表第一种情况，完全可以省去
                //  W[i][j] = 1;
                if(W[i][j]==0)  //代表第二种情况
                {
                    if(W[i][k]==1&&W[k][j]==1)
                        W[i][j] = 1;
                }
            }
        }
    }
    int sumdu = 0, ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)  //判断每个点的入度和出度之和是否为n-1
    {
        sumdu = 0;
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(W[i][j]==1||W[j][i]==1)
                sumdu++;
        }
        if(sumdu==n-1)
            ans++;
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}

OTHERS

解决最短路径问题有几个常用的算法:

• ①. dijkstra算法,最经典的单源最短路径算法
• ②. bellman-ford算法,允许负权边的单源最短路径算法
• ③. spfa,其实是bellman-ford+队列优化,其实和bfs的关系更密一点
• ④. floyd算法,经典的多源最短路径算法

而Warshall算法和flody算法最具异曲同工之妙:

flody算法:用W_k的t_ab表示点a到点b只用{a₁, a₂,…, a_k}这k个点和a与b所能达到的最短路径值，和Warshall算法一样，用W[k-1]来计算W[k],而W_n即为所有两点之间(即多源)最短路径的答案

• flody算法是用来求图的多源最短路径的算法，复杂度也为O(n^3)
• 将连通的边权定为有限值(如1)，不连通的边权定为∞，便可以用flody算法求所有点的连通性(如i, j两个节点的最短路径为有限值即连通)
• Warshall算法和flody算法都能用动态规划的想法来理解：动态规划深刻理解flody
• 为什么 Dijkstra 不能提出 floyd 算法？因为他的名字是 ijk 而不是 kij