• BZOJ.4407.于神之怒加强版(莫比乌斯反演)


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    Description

      求$$sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mgcd(i,j)^K mod 10^9+7$$

    Solution

    前面部分依旧套路。

    [egin{aligned}sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mgcd(i,j)^K&=sum_{d=1}^{min(n,m)}d^Ksum_{i=1}^nsum_{j=1}^mleft[(i,j)=d ight]\&=sum_{d=1}^{min(n,m)}d^Ksum_{i=1}^{min(lfloorfrac{n}{d} floor),lfloorfrac{m}{d} floor)}mu(i)lfloorfrac{n}{id} floorlfloorfrac{m}{id} floor\&=sum_{T=1}^{min(n,m)}lfloorfrac{n}{T} floorlfloorfrac{m}{T} floorsum_{dmid T}d^Kmu(frac{T}{d})end{aligned} ]

      这数据范围比较大,后面没法枚举约数求。因为是个狄利克雷卷积的形式,而且(d^K,mu)都是积性函数,所以(F(T)=sum_{dmid T}d^K*mu(frac{T}{d}))也是积性函数,可以线性筛。
      若(a,b)互质,则(F(ab)=F(a)*F(b))
      若(a,b)不互质,考虑同一个质因数,即(F(p_i^{k_i})=mu(1) imesleft(p_i^{k_i} ight)^K+mu(p_i) imesleft(p_i^{k_i-1} ight)^K),后面项的(mu())都是0了。
      所以(F(p_i^{k_i} imes p_i)=F(p_i^{k_i}) imes p_i^{K})。而当(p_i,p_j)不同时,它们互质,直接乘起来就好了。

    挂个链接:https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/9337898.html。


    //49648kb	16248ms
    #include <cstdio>
    #include <cctype>
    #include <algorithm>
    //#define gc() getchar()
    #define MAXIN 200000
    #define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
    #define MAX 5000000
    #define mod (1000000007)
    const int N=5e6+5;
    
    int cnt,P[N>>3],mu[N],F[N],pw[N>>3];
    bool not_P[N];
    char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
    
    inline int read()
    {
    	int now=0;register char c=gc();
    	for(;!isdigit(c);c=gc());
    	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
    	return now;
    }
    inline int FP(int x,int k)
    {
    	int t=1;
    	for(; k; k>>=1,x=1ll*x*x%mod)
    		if(k&1) t=1ll*t*x%mod;
    	return t;
    }
    void Pre(int K)
    {
    	F[1]=mu[1]=1;
    	for(int i=2; i<=MAX; ++i)
    	{
    		if(!not_P[i])
    			P[++cnt]=i, mu[i]=-1, pw[cnt]=FP(i,K), F[i]=(pw[cnt]-1)%mod;
    		for(int v,j=1; j<=cnt&&(v=i*P[j])<=MAX; ++j)
    		{
    			not_P[v]=1;
    			if(i%P[j]) mu[v]=-mu[i], F[v]=1ll*F[i]*F[P[j]]%mod;
    			else {mu[v]=0, F[v]=1ll*F[i]*pw[j]%mod; break;}
    		}
    	}
    	for(int i=2; i<=MAX; ++i) F[i]+=F[i-1], F[i]>=mod&&(F[i]-=mod);
    }
    
    int main()
    {
    	int T=read(),K=read(); Pre(K);
    	for(int n,m; T--; )
    	{
    		n=read(), m=read();
    		long long res=0;
    		for(int i=1,nxt,lim=std::min(n,m); i<=lim; i=nxt+1)
    		{
    			nxt=std::min(n/(n/i),m/(m/i));
    			res+=1ll*(F[nxt]-F[i-1])*(n/i)%mod*(m/i)%mod;
    		}
    		printf("%lld
    ",(res%mod+mod)%mod);
    	}
    	return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/SovietPower/p/9521715.html
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