BZOJ.4500.矩阵(差分约束 SPFA判负环 / 带权并查集)

BZOJ

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差分约束：

我是谁，差分约束是啥，这是哪

太真实了= =　　插个广告：这里有差分约束详(并不)解。

记(r_i)为第(i)行整体加了多少的权值，(c_i)为第(i)列整体加了多少权值，那么限制((i,j),k)就是(r_i+c_j=k)。
这就是差分约束裸题了。(r_i+c_j=kRightarrow r_i-(-c_j)leq k && -c_j-r_ileq -k)。
注意形式是(x_j-x_ileq w)=v=
建边跑最短路判负环即可。

去洛谷复习以前的板子（忘了怎么写了=-=），发现DFS判负环被卡掉了？太棒啦不用背DFS的代码惹。
乖乖写BFS好了。

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带权并查集：
发现这题和BZOJ1202是一模一样的= =。因为全是相等关系，其实是十分特殊的差分约束，可以用带权并查集做。
记(fa[x])表示(x)所在集合的根节点，(dis[x])表示(x)到(fa[x])的实际距离。
所谓距离是指：对于(r+c=k)，变成(r-(-c)=k)，即(r)比(-c)大(k)，就在(r o -c)之间连距离为(k)的边，同时令(fa[r]=-c)。
这样对于一个限制(r,c,k)，如果(r,c)不在同一集合就合并（令较大的数的祖先是较小的数）。在并查集(Find)过程中顺便维护一下(dis)（具体见代码好惹，注意变量赋值顺序）。
如果(r,c)在同一集合，就根据(dis)差判一下它俩的距离是否等于(k)。

就算(k)可能是负的这么做也没什么问题。（废话=v=）

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差分约束：

//904kb	48ms
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
typedef long long LL;
const int N=2005;

int Enum,H[N],nxt[N],to[N],len[N],dis[N],dgr[N];
bool vis[N],inq[N];

inline int read()
{
	int now=0,f=1;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=='-'&&(f=-1),c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-48,c=gc());
	return now*f;
}
inline void AE(int u,int v,int w)
{
	to[++Enum]=v, nxt[Enum]=H[u], H[u]=Enum, len[Enum]=w;
}
bool SPFA(int s,int n)//怎么都直接拿n做总点数的=-= 强迫症表示不行 
{
	std::queue<int> q;
	q.push(s), dis[s]=0;
	while(!q.empty())
	{
		int x=q.front(); q.pop();
		inq[x]=0;
		for(int i=H[x],v; i; i=nxt[i])
			if(dis[v=to[i]]>dis[x]+len[i])
			{
				if(++dgr[v]>n) return 1;
				dis[v]=dis[x]+len[i], !inq[v]&&(q.push(v),inq[v]=1);
			}
	}
	return 0;
}

int main()
{
	for(int Ts=read(); Ts--; )
	{
		int n=read(),m=read(),tot=n+m,cnt=0;
		Enum=0, memset(H,0,tot+1<<2), memset(vis,0,tot+1);
		for(int u,v,w,K=read(); K--; )
		{
			u=read(),v=read()+n,w=read();
			AE(v,u,w), AE(u,v,-w);
			if(!vis[u]) vis[u]=1, ++cnt;
			if(!vis[v]) vis[v]=1, ++cnt;
		}
		memset(dis,0x7f,tot+1<<2), memset(dgr,0,tot+1<<2), memset(inq,0,tot+1);
		bool fg=1;
		for(int i=1; i<=tot; ++i)
			if(vis[i]&&dis[i]==dis[0]&&SPFA(i,cnt)) {fg=0; break;}
		puts(fg?"Yes":"No");
	}

	return 0;
}

带权并查集：

//836kb	20ms
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <assert.h>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
typedef long long LL;
const int N=2005;

int fa[N],dis[N];

inline int read()
{
	int now=0,f=1;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=='-'&&(f=-1),c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-48,c=gc());
	return now*f;
}
int Find(int x)
{
	if(x==fa[x]) return x;
	int t=fa[x];
	fa[x]=Find(t), dis[x]+=dis[t];//!!!
	return fa[x];
}

int main()
{
	for(int Ts=read(); Ts--; )
	{
		const int n=read(),m=read(),tot=n+m;
		for(int i=1; i<=tot; ++i) fa[i]=i, dis[i]=0;
		bool fg=1;
		for(int u,v,w,K=read(); K--; )
		{
			u=read(),v=read()+n,w=read();
			if(!fg) continue;
			int r1=Find(u),r2=Find(v);
			if(r1!=r2) fa[r1]=r2, dis[r1]=dis[v]+w-dis[u];
			else if(dis[u]-dis[v]!=w) fg=0;
		}
		puts(fg?"Yes":"No");
	}

	return 0;
}