• 计算几何基础 模板



    计算几何拖了这么久,终于拖到省选前了。
    emm不求能A题,只求写暴力。

    参考:
    https://oi.men.ci/geometry-notes/
    https://www.cnblogs.com/fly-in-milkyway/p/10569895.html
    https://blog.csdn.net/clover_hxy/article/details/53966405
    https://www.cnblogs.com/lstoi/p/9791654.html
    https://blog.csdn.net/qq_34921856/article/details/80690822

    ps: 刚开始写的代码,读入用的p[i]=(Point){read(),read()},因为初始化了构造函数所以这么读进去横纵坐标可能是反的。。
    有些题并没有影响所以以前的就不改了。


    基础部分

    #include <cmath>
    #include <cstdio>
    #include <cctype>
    #include <vector>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    #define gc() getchar()
    typedef long long LL;
    const int N=1e5+5;
    
    const double eps=1e-10;
    
    inline int dcmp(double x) {return fabs(x)<eps?0:x<0?-1:1;}
    
    struct Vec
    {
    	double x,y;
    	Vec(double x=0,double y=0):x(x),y(y) {}
    	Vec operator +(const Vec &a)const {return Vec(x+a.x, y+a.y);}
    	Vec operator -(const Vec &a)const {return Vec(x-a.x, y-a.y);}
    	Vec operator *(const double p)const {return Vec(x*p, y*p);}
    
    	double operator *(const Vec &a)const {return x*a.y-y*a.x;}//cross product
    	bool operator <(const Vec &a)const {return x<a.x||(x==a.x&&y<a.y);}
    	bool operator ==(const Vec &a)const {return !dcmp(x-a.x)&&!dcmp(y-a.y);}
    
    	double Norm() {return x*x+y*y;}//范数 
    	double Length() {return sqrt(x*x+y*y);}//模长 
    	double Dot(Vec a) {return x*a.x+y*a.y;}//dot product
    	double Angle(Vec a) {return acos(Dot(a)/Length()/a.Length());}//两向量夹角 
    	Vec Normal() {double t=Length(); return Vec(-y/t,x/t);}//单位法向量 
    	Vec Rotate(double rad) {return Vec(x*cos(rad)-y*sin(rad),x*sin(rad)+y*cos(rad));}//顺时针旋转rad度 
    };
    typedef Vec Point;
    
    struct Line
    {
    	Point a; Vec v;
    	Line(Point a,Vec v):a(a),v(v) {}
    
    	bool OnLine(const Point &p) {return !dcmp((a-p)*v);}//!dcmp((a-p)*(b-p))
    	bool OnSegment(const Point &p) {return !dcmp((a-p)*v)&&dcmp((a-p).Dot(a+v-p))<=0;}//PA*PB<=0
    	int Relation(const Line &l)//直线之间的关系 0:平行 1:相交 2:重合(无数个交点) 
    	{
    		return dcmp(v*l.v)?1:dcmp(v*(a-l.a))?0:2;
    	}
    	Point Intersection(const Line &l)//直线交点 
    	{
    		return a+v*((l.v*(a-l.a))/(v*l.v));//注意方向(叉积的正负) 
    	}
    };
    
    inline bool cmp(const Point &a,const Point &b) {return a.x==b.x?a.y<b.y:a.x<b.x;}
    
    struct Polygon
    {
    	int sk[N];
    	std::vector<Point> ps;
    
    	bool Include(const Point &p)//点在多边形内 
    	{
    		int cnt=0;
    		for(int i=0,lim=ps.size(); i<lim; ++i)
    		{
    			const Point a=ps[i],b=ps[i+1==lim?0:i+1];
    			if(Line(a,b-a).OnSegment(p)) return 1;
    			double d1=a.y-p.y,d2=b.y-p.y,tmp=(a-p)*(b-p);
    			if((tmp<0&&d1<0&&d2>=0)||(tmp>0&&d1>=0&&d2<0)) ++cnt;
    		}
    		return cnt&1;
    	}
    	double Area()//多边形有向面积(逆时针为正,顺时针为负) 
    	{
    		double res=0;
    		for(int i=0,lim=ps.size(); i<lim; ++i)
    			res+=ps[i]*ps[i+1==lim?0:i+1];
    		return res*0.5;
    	}
    	int Convex()//求凸包 存在sk[]里 
    	{
    		std::sort(ps.begin(),ps.end(),cmp);
    		int top=1,n=ps.size(); sk[1]=0;
    		for(int i=1; i<n; ++i)
    		{
    			while(top>=2 && (ps[sk[top]]-ps[sk[top-1]])*(ps[i]-ps[sk[top-1]])<=0) --top;
    			sk[++top]=i;
    		}
    		int k=top;
    		for(int i=n-2; ~i; --i)
    		{
    			while(top>k && (ps[sk[top]]-ps[sk[top-1]])*(ps[i]-ps[sk[top-1]])<=0) --top;
    			sk[++top]=i;
    		}
    		return top;
    	}
    };
    
    int main()
    {
    	return 0;
    }
    

    凸包

    洛谷.2742.[模板]二维凸包

    (Granham's Scan)

    1. 选出所有点中横坐标最小(如果相同取纵坐标最小的)的点(x),将所有点按与(x)的极角序排序。
    2. (x)放到栈里,跑一遍单调栈求凸包。

    这个做法似乎精度不太好。

    另一种做法是:

    1. 将所有点按横坐标为第一关键字,纵坐标为第二关键字排序。
    2. (1)号点放到栈里,单调栈求一遍下凸壳。
    3. 保留原先栈中的元素,单调栈求一遍上凸壳。

    复杂度都是(O(nlog n))

    #include <cmath>
    #include <cstdio>
    #include <cctype>
    #include <algorithm>
    //#define gc() getchar()
    #define MAXIN 500000
    #define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
    typedef long long LL;
    const int N=1e4+6;
    
    int sk[N];
    char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
    struct Vec
    {
    	double x,y;
    	Vec(double x=0,double y=0):x(x),y(y) {}
    	Vec operator +(const Vec &a)const {return Vec(x+a.x, y+a.y);}
    	Vec operator -(const Vec &a)const {return Vec(x-a.x, y-a.y);}
    	Vec operator *(const double a)const {return Vec(x*a, y*a);}
    	bool operator <(const Vec &a)const {return x<a.x||(x==a.x&&y<a.y);}
    	double operator *(const Vec &a)const {return x*a.y-y*a.x;}
    	double Length() {return sqrt(x*x+y*y);}
    }p[N];
    typedef Vec Point;
    
    inline double read()
    {
    	double x=0,y=0.1,f=1;register char c=gc();
    	for(;!isdigit(c);c=='-'&&(f=-1),c=gc());
    	for(;isdigit(c);x=x*10+c-48,c=gc());
    	for(c=='.'&&(c=gc());isdigit(c);x+=y*(c-48),y*=0.1,c=gc());
    	return x*f;
    }
    double Convex(int n)
    {
    	std::sort(p+1,p+1+n);
    	int top=1; sk[1]=1;
    	for(int i=2; i<=n; ++i)
    	{
    		while(top>1 && (p[sk[top]]-p[sk[top-1]])*(p[i]-p[sk[top-1]])<=0) --top;
    		sk[++top]=i;
    	}
    	int m=top;
    	for(int i=n-1; i; --i)
    	{
    		while(top>m && (p[sk[top]]-p[sk[top-1]])*(p[i]-p[sk[top-1]])<=0) --top;
    		sk[++top]=i;
    	}
    	double ans=0;
    	for(int i=1; i<top; ++i) ans+=(p[sk[i+1]]-p[sk[i]]).Length();
    	return ans;
    }
    
    int main()
    {
    	int n=read();
    	for(int i=1; i<=n; ++i) p[i]=(Point){read(),read()};
    	printf("%.2f
    ",Convex(n));
    
    	return 0;
    }
    

    极角排序

    一道例题


    旋转卡壳

    BZOJ.1069.[SCOI2007]最大土地面积

    求四边形最大面积,枚举一条对角线,求对角线两边最大三角形面积即可。
    暴力是(n^3)的,容易发现固定对角线一个端点,另一个端点移动时两边最远点的移动也是单调的。所以用旋转卡壳优化一下就是(O(n^2))啦。

    旋转卡壳还有很多用途,见最上面的链接。
    经常要找和当前直线平行的直线切在哪里,注意用底相同,平行线之间高也相同,以及叉积有正负的性质,求叉积。
    凸多边形最小面积外接矩形,找三个边界点时(枚举下边界点(d)),上边界点(u)可以如上所说用叉积判(判断((p_u-p_d)*(p_{d+1}-p_d))((p_{u+1}-p_d)*(p_{d+1}-p_d))的大小关系,比它小则(u+1))。
    点积可以求向量在另一个向量上的映射长度,所以右边界点(r)可以用点积求(在(p_{d+1}-p_d)上映射长度最长的)。
    同理,左边界点(l)也用点积求,不过注意刚开始要将(l)赋值为(r)

    [BZOJ1069]的代码:

    //884kb	120ms
    #include <cstdio>
    #include <algorithm>
    typedef long long LL;
    const int N=2005;
    
    struct Vec
    {
    	double x,y;
    	Vec(double x=0,double y=0):x(x),y(y) {}
    	Vec operator +(const Vec &a)const {return Vec(x+a.x, y+a.y);}
    	Vec operator -(const Vec &a)const {return Vec(x-a.x, y-a.y);}
    	double operator *(const Vec &a)const {return x*a.y-y*a.x;}
    	bool operator <(const Vec &a)const {return x<a.x||(x==a.x&&y<a.y);}
    }p[N],sk[N];
    
    
    int main()
    {
    	int n; scanf("%d",&n);
    	for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
    	std::sort(p+1,p+1+n);
    	int top=1; sk[1]=p[1];
    	for(int i=2; i<=n; ++i)
    	{
    		while(top>1 && (sk[top]-sk[top-1])*(p[i]-sk[top-1])<=0) --top;
    		sk[++top]=p[i];
    	}
    	int k=top;
    	for(int i=n-1; i>1; --i)
    	{
    		while(top>k && (sk[top]-sk[top-1])*(p[i]-sk[top-1])<=0) --top;
    		sk[++top]=p[i];
    	}
    	double ans=0; sk[top+1]=sk[1];
    	#define Inc(x) (x+1>top?1:x+1)
    	for(int i=1; i+2<=top; ++i)
    	{
    		int x=i+1,y=i+3>top?1:i+3;
    		for(int j=i+2; j<=top; ++j)
    		{
    			while((sk[x+1]-sk[i])*(sk[j]-sk[i])>(sk[x]-sk[i])*(sk[j]-sk[i])) x=Inc(x);
    			while((sk[j]-sk[i])*(sk[y+1]-sk[i])>(sk[j]-sk[i])*(sk[y]-sk[i])) y=Inc(y);
    			ans=std::max(ans,(sk[x]-sk[i])*(sk[j]-sk[i])+(sk[j]-sk[i])*(sk[y]-sk[i]));
    		}
    	}
    	printf("%.3f
    ",ans*0.5);
    
    	return 0;
    }
    

    半平面交

    咕咕了。

    
    

    最小圆覆盖

    具体见这里

    #include <cmath>
    #include <cstdio>
    #include <cctype>
    #include <algorithm>
    #define gc() getchar()
    #define MAXIN 500000
    //#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
    typedef long long LL;
    const int N=1e6+5;
    
    char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
    struct Vec
    {
    	double x,y;
    	Vec(double x=0,double y=0):x(x),y(y) {}
    	Vec operator +(const Vec &a)const {return Vec(x+a.x, y+a.y);}
    	Vec operator -(const Vec &a)const {return Vec(x-a.x, y-a.y);}
    	Vec operator *(const double a)const {return Vec(x*a, y*a);}
    	double operator *(const Vec &a)const {return x*a.y-y*a.x;}
    	Vec Rotate_90()const {return Vec(y,-x);}
    	double len()const {return sqrt(x*x+y*y);}
    	double len2()const {return x*x+y*y;}
    }p[N];
    typedef Vec Point;
    struct Line
    {
    	Point p; Vec v;
    	Line(Point p,Vec v):p(p),v(v) {}
    	Line PerpendicularBisector()const//垂直平分线=-=
    	{
    		return Line((p+p+v)*0.5,v.Rotate_90());
    	}
    	Point Intersection(const Line &l)const
    	{
    		return p+v*((l.v*(p-l.p))/(v*l.v));
    	}
    };
    
    inline double read()
    {
    	double x=0,y=0.1,f=1;register char c=gc();
    	for(;!isdigit(c);c=='-'&&(f=-1),c=gc());
    	for(;isdigit(c);x=x*10+c-48,c=gc());
    	for(c=='.'&&(c=gc());isdigit(c);x+=y*(c-48),y*=0.1,c=gc());
    	return x*f;
    }
    Point CalcCircle(const Point &a,const Point &b,const Point &c)
    {
    //	Line A=Line(a,b-a).PerpendicularBisector(),B=Line(a,c-a).PerpendicularBisector();
    	Line A=Line((a+b)*0.5,(b-a).Rotate_90()),B=Line((a+c)*0.5,(c-a).Rotate_90());
    	return A.Intersection(B);
    }
    void Solve(const int n)
    {
    	srand(330), std::random_shuffle(p+1,p+1+n);//话说这个srand不够随机啊= = 
    	Point O=p[1]; double R=0;
    	for(int i=2; i<=n; ++i)
    		if((p[i]-O).len2()>R)
    		{
    			O=p[i], R=0;
    			for(int j=1; j<i; ++j)
    				if((p[j]-O).len2()>R)
    				{
    					O=(p[i]+p[j])*0.5, R=(p[i]-O).len2();
    					for(int k=1; k<j; ++k)
    						if((p[k]-O).len2()>R)
    							O=CalcCircle(p[i],p[j],p[k]), R=(p[k]-O).len2();
    				}
    		}
    	printf("%.2f %.2f %.2f
    ",O.x,O.y,sqrt(R));
    }
    
    int main()
    {
    	int n=read();
    	for(int i=1; i<=n; ++i) p[i].x=read(),p[i].y=read();
    //	for(int i=1; i<=n; ++i) p[i]=(Point){read(),read()};//声明构造函数之后再这么用,貌似。。= = 不同编译器结果不同。。
    	Solve(n);
    
    	return 0;
    }
    
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