Codeforces.24D.Broken robot(期望DP 高斯消元)

题目链接

---

可能这儿的会更易懂一些（表示不想再多写了）。

令(f[i][j])表示从((i,j))到达最后一行的期望步数。那么有(f[n][j]=0)。
若(m=1)，答案是(2(n-x))。
否则，显然有$$f[i][1]=frac13(f[i+1][1]+f[i][1]+f[i][2])+1f[i][j]=frac14(f[i+1][j]+f[i][j]+f[i][j-1]+f[i][j+1])+1, 1<j<mf[i][m]=frac13(f[i+1][m]+f[i][m]+f[i][m-1])+1$$

别忘了+1→_→
写成矩阵的形式，$$2f[i][1]-f[i][2]=f[i+1][1]+3-f[i][j-1]+3f[i][j]-f[i][j+1]=f[i+1][j]+4-f[i][m-1]+2f[i][m]=f[i+1][m]+3$$

然后就可以一行一行高斯消元了。
注意到矩阵是个三对角矩阵，我们可以(O(n))完成消元。
具体就是用第(i)行的两个变量消掉第(i+1)行的第(i)个变量，最后到第(m)行可以直接算出(f[i][m])，代回去。
第一行有(2f[1]-f[2]=g[1])，消掉第二行的(f[1])变成(2.5f[2]-f[3]=g[2]+0.5g[1])，系数改成(2)即(2f[2]-0.8f[3]=0.8(g[2]+0.5g[1]))，重复(m-2)次即可。最后会得到(m-1)个(2f[i]+a_if[i+1]=b_i)，用第(m)行求出(f[m])，迭代回去。

---

//62ms	7700KB
#include <cstdio>
#include <algorithm>
typedef long long LL;
const int N=1005;

double A[N],B[N],f[N][N];

int main()
{
	int n,m,x,y; scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&x,&y);
	if(m==1) return printf("%.5f
",2.0*(n-x)),0;
	for(int i=n-1; i>=x; --i)
	{
		A[1]=-1, B[1]=f[i+1][1]+3;
		for(int j=2; j<m; ++j)
		{
			A[j]=-1, B[j]=4+f[i+1][j]+0.5*B[j-1];
			double t=2/(3+0.5*A[j-1]); A[j]*=t, B[j]*=t;
		}
		B[m]=f[i+1][m]+3+0.5*B[m-1], f[i][m]=B[m]/(2+0.5*A[m-1]);
		for(int j=m-1; j; --j) f[i][j]=(B[j]-f[i][j+1]*A[j])*0.5;
	}
	printf("%.5f
",f[x][y]);

	return 0;
}