[国家集训队 2012]JZPKIL

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多次查询，每次给定 (n,x,y)，求：

[sum_{i=1}^n gcd(i,n)^x extrm{lcm}(i,n)^y pmod {10^9+7} ]

• (Tle 100,1le nle 10^{18},x,yle 3000)

( m Sol:)

答案是：

[sum_{i=1}^n i^ycdot n^ygcd(i,n)^{x-y} ]

枚举 (gcd=d)，忽略 (n^y) 则有：

[egin{aligned} &sum_{d|n} d^xsum_{j=1}^{frac{n}{d}}[gcd(j,frac{n}{d})=1]j^{y} \&=sum_{d|n} d^xsum_{j=1}^{n/d}sum_{k|j,k|frac{n}{d}} mu(k)j^y \&=sum_{d|n} d^xsum_{k|frac{n}{d}}mu(k) sum_{k|j} j^y \&=sum_{d|n} d^xsum_{k|frac{n}{d}}mu(k)k^y sum_{j=1}^{n/(kd)} j^y \&=sum_{d|n} d^x sum_{k|frac{n}{d}}mu(k)k^y S_y(frac{n}{kd}) end{aligned}]

我们将 (S_y(frac{n}{kd})) 视为关于其的 (y+1) 次多项式，那么此处有：

[egin{aligned} &sum_{d|n} d^x sum_{k|frac{n}{d}}mu(k)k^y sum_{i=0}^{y+1}f_i (frac{n}{kd})^i \&=sum_{i=0}^{y+1}f_isum_{d|n} d^x sum_{k|frac{n}{d}}mu(k)k^y(frac{n}{kd})^i end{aligned}]

注意到后者可以视为 (f,g,h) 的迪利克雷卷积，令 (f(d)=d^x,g(d)=mu(d)d^y,h^c(d)=d^c)，这个卷积满足分配律和交换律以及结合律，同时满足积性律，注意到三者均为积性函数，所以卷积结果也是积性函数。

设结果为 ((x))，于是我们所求为 ((n))，那么显然有：

1. ((1)=1)
2. ((p)=p^x+p^c-p^y)
3. ((p^k)=fcdot h^c(p^k)-fcdot h^c(p^{k-1}) imes p^y)

于是只需要考虑 (fcdot h^c(p^k))，其为：

[sum_{i+j=k} f(p^i)cdot h^c(p^j) ]

所以通过 MR 进行暴力质因数分解，然后我们 (mathcal O(log n)) 的枚举每个质因子（include 次幂）然后暴力卷积并计算答案即可。

还有一个问题，如何计算自然数幂的和的多项式？

自然数幂和多项式

构造多项式 (G_n(x)=frac{e^{nx}-1}{1-e^{-x}})，一堆神仙分析可以得到 (G_n(x)[x^k]) 就是 (sum_{i=1}^n i^k)（其实应该是根据 (G_n(x)[x^k]) 是 (sum_{i=1}^n i^k) 推出 (G_n(x)) 的表达式的...）

将 (G_n(x)) 裂项成 (frac{xe^x}{e^x-1} imes frac{e^{nx}-1}{x})，前者的 EGF 序列记为 ({B_0,B_1,B_2...})，后者显然是 EGF 序列 ({frac{n}{1},frac{n^2}{2},frac{n^3}{3}...})

所以我们会发现其实有 (G_n(x)[x^k]) 是这两个数列的二项卷积的结果，所以有：

[egin{aligned} &G_n[x^k]=sum_{i+j=k} B_i frac{n^{j+1}}{j+1}inom{k}{i} \&= frac{1}{k+1}sum_{i=0}^{k} B_i inom{k+1}{i}n^{k-i+1} end{aligned}]

换而言之如果能够得到伯努利数那么就可以知道自然数幂和多项式

然后只需要递推伯努利数即可。

注意到 (frac{xe^x}{e^x-1} imes frac{e^x-1}{x}=e^x) 所以 (mathbf{EGF}{B_0,B_1...} imes mathbf{EGF}{frac{1}{1},frac{1}{2}...}=mathbf{EGF}{1,1,1...})

所以有：

[egin{aligned} &sum_{i+j=k} B_i imes frac{1}{j+1} imes inom{k}{i}=1 \& sum_{i}^k B_i imesinom{k+1}{i}=k+1 end{aligned}]

于是得到 (B_k=1-sum_{i<k} frac{B_i}{k+1}inom{k+1}{i})

综上，本题复杂度为 (mathcal O(Tcdot (n^{frac{1}{4}}log n+ylog^3 n)+y^2))