AGC034F
给定一个 (n) 和长度为 (2^n) 的数组 (A)
初始有一个为 (0) 的变量 (x)，每次以 (frac{A_i}{sum A_j}) 的概率使其异或 (i)
对于 (iin [0,2^n)) 求 (x) 第一次变为 (i) 的期望步数。
( m Sol:)
我们先列出高斯消元的方程，然后考虑集合幂级数：
[egin{aligned}
&f_i = 1+sum_{joplus k=i} f_jcdot p_k
\& extrm{FWT}(F(x))= extrm{FWT}(sum_k x^k)+ extrm{FWT}(F(x))cdot extrm{FWT}(P(x))+ extrm{FWT}(c)
\& extrm{FWT}(F(x))_i= extrm{FWT}(G(x))_i+ extrm{FWT}(F(x))_icdot extrm{FWT}(P(x))_i+c
end{aligned}]
我们先考虑求出具体的 (c)，考虑 (f_i) 的取值，应该有：
[ extrm{FWT}(F(x))_i=frac{ extrm{FWT}(G(x))_i+c}{1- extrm{FWT}(P(x))_i}
]
然后我们考虑 (i=0) 时，此时 ( extrm{FWT}(P(x))_0=sum p_i=1)，所以此时有 ( extrm{FWT}(F(x))_0cdot 0= extrm{FWT}(G(x))_0+c)
于是有：
[c=- extrm{FWT}(G(x))_0=-2^n
]
于是对于 (i e 0) 的部分，我们有：
[ extrm{FWT}(F(x))_i=frac{-2^n}{1- extrm{FWT}(P(x))_i}
]
我们进行暴力集合幂级数求逆，对于 (i=0) 的部分，利用定义式导出恒等式求解即可。
复杂度为 (mathcal O((n+log w)cdot 2^n))