CF1326F

CF1326F

给定一张无向图 G，大小为 (n)。

求有多少种排列 (p)，其生成 01 串 S 为：

• 对于 (1le ile n-1)，若 (p_i) 与 (p_{i+1}) 如果其在图 G 上存在边，则第 (S_i=1)，否则为 (0)

对于所有可能的 (2^{n-1}) 种 01 串求有多少种序列可以生成它。

对于 F1，(nle 14)

对于 F2，(nle 18)

( m Sol:)

for F1

考虑暴力搜索，枚举 (inom{7}{14}) 种选入集合 (1) 的方案数，然后枚举长度为 (2^7) 的 01 串，与另一边的 01 串，同时枚举结尾和开头。

问题来了我们不知道某个集合得到某个 01 串的方案数。

不过这两个问题好像是独立的，另一个问题单独用一个状压dp算即可，即 (f_{S,T,i}) 表示被选出来的数有 S 个，当前的 01 串为 T，且结尾为 (t) 的方案数。这里的复杂度约为 (O(2^{13} imes 2^7 imes 7))

而前面部分的复杂为 (O(7^2 imes inom{14}{7} imes 2^{14}))

然后居然可以过。。。

for F2

对 (01) 关系进行容斥，对于 (01) 串 (S) 只需要计算计算在每个 (1) 位置上恰好有边的数量，那么再进行一个高维差分就是答案了。

这样处理的好处是不需要关注具体的 01，每一段 01 当作是一条独立的链，那么接下来只需要对于拆分数考虑即可，这个是极小的，仅为 (385)

对于每个拆分数考虑，只需要知道若干条链，大小依次为 (1,1,2,2,...) 最后凑成全集的方案数，先预处理 (f_{S}) 表示状态为 S 的 (f) 数组对应的方案数，然后注意到大小和为 (n)，对于每次填入的数考虑记 (F_{cnt}(x)) 表示所有大小为 (cnt) 的 (f) 数组构成的集合幂级数，那么显然 (F(x)) 依次的或卷积就是答案了。

只需要预处理 (f)，设 (g_{i,S}) 表示结尾为 (i)，当前 S 已经走过的方案数，这一部分复杂度为 (mathcal O(n^22^n))

另一边，事实上 FWT 可以边枚举拆分数边转移，有效的转移数通过打表仅为 (1597)，但是对于结果需要做 IFWT，不过注意到只需要 IFWT((x^{U}))，那么直接暴力做 IFWT 即可。

复杂度是 (mathcal O(2^n imes (n^2+1597)))