给定 (n) 张数字牌 (1sim n)，(m) 张鬼牌，每次随机抽一张牌，现有一个集合 (S)：
- 若其为数字牌，那么给 (S) 中加入其，并移除。
- 若其为鬼牌，则将被移除的牌加回来，如果此时 (S) 构成了全集，那么 GG
求期望操作次数。
- 请注意 (S) 不会删减。
(n,mle 2 imes 10^6)
Solution
好仙啊！
考虑答案可以怎么计算，实际上我们可以认为我们每次的操作为一直抽牌直到抽到鬼牌。
于是答案就是期望抽牌的次数乘以单次抽牌的轮数。
单次抽牌的轮数可以转换为操作 (i) 次后仍没有抽到鬼牌的概率和，即：
[egin{aligned}
&sum_{i=0}^{n} P(Xge i)=sum_{i=0}^n frac{n^{underline{i}}}{(n+m)^{underline{i}}}
\&=sum_{i=0}^n frac{n!(n+m-i)!}{(n-i)!(n+m)!}
\&=frac{n!}{(n+m)!}sum^n frac{(n+m-i)!}{(n-i)!}
\&=frac{n!}{(n+m)!}sum^n (n+m-i)^{underline{m}}
\&=frac{n!}{(n+m)!}sum^n frac{(n+m-i+1)^{underline{m+1}}-(n+m-i)^{underline{m+1}}}{m+1}
\&=frac{n!}{(n+m)!} imes frac{(n+m+1)^{underline{m+1}}}{m+1}
\&=frac{n!(n+m+1)!}{n!(n+m)!(m+1)}
\&=1+frac{n}{m+1}
end{aligned}]
接下来考虑抽卡轮数的期望，这个本身不太好算，但我们可以考虑 (min-max) 容斥，现在只需要考虑期望操作多少轮之后可以得到 (S) 中的一张牌。
仍然考虑转换期望，变成操作了 (i) 次之后没有抽到牌的概率和，同时不难发现每轮的操作独立，同一轮的操作只需要关注操作了剩余的 (n-|S|) 张牌。
设 (p) 为操作一轮后没有 D 到集合 (S) 中的牌的概率，不难得到期望的操作轮数为：
[sum_{i=0}^{infty} p^i
]
即：
[frac{1}{1-p}
]
同时，设 (k=n-|S|)，不难发现 (p) 为：
[egin{aligned}
&sum_{i=0}^{k} frac{k^{underline{i}}}{(n+m)^{underline{i+1}}} imes m
\&=msum_{i=0}^k frac{k!(n+m-i-1)!}{(k-i)!(n+m)!}
\&=frac{k!cdot m}{(n+m)!}sum_{i=0}^kfrac{(n+m-i-1)!}{(k-i)!}
\&=frac{k!cdot m}{(n+m)!}sum_{i=0}^k (n+m-i-1)^{underline{n+m-k-1}}
\&=frac{k!cdot m}{(n+m)!} imes frac{(n+m)^{underline{n+m-k}}}{n+m-k}
\&=frac{k!cdot m(n+m)!}{(n+m)!(n+m-k)k!}
\&=frac{m}{n+m-k}
\&=frac{m}{m+|S|}
end{aligned}]
回代得到答案：
[sum_{i=1}^n inom{n}{i}(-1)^{i+1}frac{m+i}{i}
]
最后得到最终答案：
[(1+frac{n}{m+1}) imes (sum_{i=1}^n inom{n}{i}(-1)^{i+1}frac{m+i}{i})
]
然后我们就可以得到答案了。