计算机中的二进制表示(定点数,浮点数)

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1 规则及表示方法

首先是对有符号数而言:

1. 二进制的最高位是符号位：0–>正，1–>负
2. 正数的原码，反码，补码一样
3. 负数的反码==原码的符号位不变，其他的位取反
4. 负数的补码==反码+1
5. 0的反码，补码都是0。数值0的补码只有一个，即：0的补码=00000000B
6. 计算机运算的时候都是以补码的方式运算的。

2 补充

1. （-128）没有相应的原码和反码。(-128)=(1000 0000)_补码
2. 采用补码的原因:
   1. 使用补码可以使符号位与其他位统一进行处理。
   2. 减法可以按照加法处理。如果最高位（符号位）有进位，则进位就舍弃。
3. 已知补码，求原码:补码的补码。（因为：对于二进制来说先减1后取反和先取反后加1得到的结果是一样的）

浮点数二进制表示

根据国际标准IEEE 754，任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：

V = (-1)^s * M * 2^E

1. (-1)^s 表示符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数。
   
2. M表示有效数字，大于等于1，小于2。
3. 2^E 表示指数位。(其中2也可以换成别的基),E是小数点左移的位数
   

举例来说：十进制的-5.0，写成二进制是-101.0，相当于-1.01×2² 。那么，s=1，M=1.01，E=2。

IEEE 754规定，对于32位的浮点数，最高的1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M。

 
对于64位的浮点数，最高的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M。

 规则及表示方法

IEEE 754对有效数字M和指数E，还有一些特别规定。

前面说过，1≤M<2，也就是说，M可以写成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表示小数部分。IEEE 754规定，在计算机 内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。比如保存1.01的时候，只 保存01，等到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样做的目的，是节省1位有效数字。以32位浮点数为例，留给 M只有23位，将第一位的1舍去以后，等于可以保存24位有效数字。

至于指数E，情况就比较复杂。

首先，E为一个无符号整数（unsigned int）。这意味着，如果E为8位，它的取值范围为0~255；如果E为11位，它 的取值范围为0~2047。但是，我们知道，科学计数法中的E是可以出现负数的，所以IEEE 754规定，E的真实值必须 由E再减去一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。 
比如，2¹⁰ 的E是10，所以保存成32位浮点数时，必须保存成10(E的真实值)+127=137(E)，即10001001。

然后，指数E还可以再分成三种情况：
（1）E不全为0或不全为1。这时，浮点数就采用上面的规则表示，即指数E的计算值减去127（或1023），得到真实 值，再将有效数字M前加上第一位的1。 
（2）E全为0。这时，浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023），有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为 0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。
（3）E全为1。这时，如果有效数字M全为0，表示±无穷大（正负取决于符号位s）；如果有效数字M不全为0，表示 这个数不是一个数（NaN）。