其他：
对$${1over 1-x}=1+x+x2+x3cdots$$
进行加减乘除求导积分，或把(x)代换成(ax)等方法得到一些奇怪的公式，参见小函数(qwq)
令(x)取(-x)则原式变为容斥形式
指数型生成函数
(~~~~)生成函数的每一项系数变为$$frac {a_i}{i!}$$(~~~~)这样可以发现一些规律，并且在求解组合数问题时会派到用场。
生成函数解一次递推题：
step1：
(~~~~)设出母函数的幂级数形式，利用递推公式（左右两边相减得0）把幂级数形式乘除加减求导积分化为闭形式。
step2：
(~~~~)把闭形式分解成可以化成确切已知幂级数的小函数（见文章最后）加减形式，得到通项公式。
生成函数解二次递推题：
step1：
(~~~~)利用生成函数（大眼观察法）求出(f(0,m))的通项公式(可以理解成(f(0,m))与(f(0,0))的关系)。
step2：
(~~~~)固定列(m)(把(m)当作常数),求出(f(n,m))与(f(0,m))的关系(通项公式，但是除n外，带常数m)，把(f(m,0))代入得(f(n,m))与(f(0,0))的关系，即通项公式。
(~~~~)例题
卷积型生成函数解递推式：
递推公式大致形态:(h_n=sum_{i=0}^n h_i imes h_{n-i})
核心操作：
令(g(x))为其生成函数，则可得到：相邻两阶导数的关系，将生成函数幂级数形式求导带入，根据对应项相等，可得(O(n))递推公式。例题
生成函数解排列组合问题：
可以求解的问题：
(~~~~)用一些物品组合成一个集合的方案数，对物品的选取有要求，如只能选某个数的倍数次，或不多于某个数等。
step1：
(~~~~)每个物品分别用指数代表贡献，系数代表方案，互斥的选取方法用+连接，不同物品乘起来。
step2：
(~~~~)把整个式子化成闭形式，再展开成幂级数形式，i项的系数就是组成集合有总数为i的贡献的方案数。
另一种方法：
在特殊限制下，每一个物品都有单位选取个数，且可以选无数个，那么可以设生成函数$$A(x)=sum a_i imes x^i$$(a_i)表示单位选取方案数，(m_i)表示单位个数，那么答案生成函数
即从选几个物品的角度来看，每次从中选一个。
指数型生成函数的意义：
(~~~~)若求排列数，那么就要使用指数型生成函数，多项式系数仍代表组合数，数列代表排列数，最后得到一个幂级数，它的系数就是排列数。（组合数？？？为什么不直接除阶乘？？？？）
秘籍(cdot)小函数：
(1).$$sum_{nge 0}x^{n} ={1 over 1-x}$$
(2).$$sum_{nge 0}{n+m-1choose m-1}x^{n}=frac 1{(1-x)^m}$$
(多个函数卷积，插板法)
(4).$$sum_{nge 0}frac{xn}{n!}=ex(from~taylor)$$
(5).$$sum_{nge 1}frac{x^n}{n}=lnfrac{1}{1-x}$$
(一次求导才得到(frac 1 {1 - x})，所以每一个都多乘了(n)，方程的解多除一个)
(7).$$sum_{0le nle p}xn=frac{1-x{p+1}}{1-x}$$
((1)保留本身 (-x^{p+1})把他后面(p+1)项减掉，只有(1)~(p)没有被减)
(10).$$sum_{nge 0}frac{x{2n}}{(2n)!}=frac{ex + e^{-x}}{2}(from~4)$$
(11).$$sum_{nge 0} frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}=frac{e^x - e^{-x}}{2}(from~4)$$
(12).$$sum_{n ge 0}(-1){n+1}frac{x{n}}{n}=ln(1+x)$$
(frac{1}{1+x})求导得(sum_{ige 0}(-1)^ix^i)由于(ln(1+x))求导一次才得(frac{1}{1+x})多乘一个(n)，方程的解要除去且((-1)^i)奇偶性发生变化变成((-1)^{i+1})
(13).$$sum_{nge 0} {achoose n} imes xn=(1+x)a (from~high-text-book)$$
(14).$$sum_{nge 0} (x+y)^n=frac {1}{1-x-y}(x=x+y)$$
(3).$$sum_{nge 0}cnxn=frac{1}{1-cx}(x=cx)$$
(8).$$sum_{0le nle p}x^{n imes a}=frac{1-x{a imes(p+1)}}{1-xa} (x=x^a)$$
关键：
把意义与函数指数系数对应起来。